Determinar a equação da circunferência cujo raio é 5 e o centro é a interseção das retas 3 x-2 y-24=0 e 2 x+7 y+9=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação da circunferência cuja razão e dados são os seguintes:\n
  • raio igual a 5.\n
  • centro é o ponto que é interseção das retas 3x-2y-24=0 e 2x+7y+9=0.\n
    Informações relevantes fornecidas: as duas equações das retas e o valor do raio. A tarefa final é escrever a equação da circunferência (uma única equação que descreva todos os pontos (x,y) a distância 5 do centro).

Passo 2

Vamos achar o ponto de interseção das retas, ou seja, resolver o sistema linear formado por:
\begin{cases} 3x-2y-24=0,\\[4pt] 2x+7y+9=0. \end{cases}
Primeiro, reescrevo cada equação de forma limpa:
3x-2y=24
2x+7y=-9
Explicando o método que vou usar: vou eliminar x multiplicando as equações por fatores adequados para igualar os coeficientes de x, e em seguida subtrair uma equação da outra. Esse é o método de eliminação, bem prático na prova — você multiplica para alinhar um coeficiente e elimina somando/subtraindo.
Multiplico a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para obter coeficiente comum 6 em x:
\begin{cases} 6x-4y=48,\\[4pt] 6x+21y=-27. \end{cases}]

Passo 3

Agora subtraio a segunda equação da primeira para eliminar x:
(6x-4y)-(6x+21y)=48-(-27).
No lado esquerdo os 6x se cancelam, restando:
-4y-21y = 48+27.
Portanto
-25y=75.
Dividindo por -25 obtemos
y=-3.
Ótimo — já temos a coordenada y do centro.

Passo 4

Com y=-3, volto a uma das equações originais para encontrar x. Uso a equação 3x-2y=24. Substituo y=-3 (sempre faça a substituição com cuidado para não escorregar):
3x-2(-3)=24.
Como -2(-3)=6, isso dá
3x+6=24.
Subtraindo 6 de ambos os lados:
3x=18,
e dividindo por 3:
x=6.
Então o ponto de interseção (o centro da circunferência) é (6,-3).

Passo 5

Agora uma pequena aula-conceito sobre a equação da circunferência: a definição é que a circunferência de centro (h,k) e raio r é o conjunto dos pontos (x,y) cuja distância até (h,k) é r. Usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano,
\text{distância} = \sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2},â
e impondo que essa distância seja r, obtemos a fórmula padrão da circunferência:
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2,
onde h e k são as coordenadas do centro e r é o raio.
No nosso caso já encontramos h=6 e k=-3, e o enunciado deu r=5. Substituindo esses valores na fórmula (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 obtemos a equação buscada.

Resposta

(x-6)^2+(y+3)^2=25
x^2+y^2-12x+6y+20=0

Exercícios relacionados