A circunferência representativa dos momentos e produtos de inércia de uma superfície plana tem raio R=19652 \mathrm{~cm}^{4} e centro em ( 80000 \mathrm{~cm}^{4}, 0 ). Pede-se obter:
a) O valor mínimo de momento de inércia \left(I_{\text {min }}\right);
b) O valor máximo de momento de inércia ( I_{\text {max }} );
c) O menor valor de momento de inércia I_{\text {menor }} referente a um sistema de eixos distante 37^{\circ} do eixo com I_{\text {max }} medido no sentido anti-horário;
d) O maior valor de momento de inércia \boldsymbol{I}_{\text {maior }} referente a um sistema de eixos distante 37^{\circ} do eixo com \boldsymbol{I}_{\text {max }} medido no sentido antihorário;
e) O valor do produto de inércia I_{x y} referente a um sistema de eixos distante 37^{\circ} do eixo com I_{\max } medido no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado dá a circunferência representativa dos momentos e produto de inércia com centro em (80000\\ \mathrm{cm}^4,\,0) e raio R=19652\\ \mathrm{cm}^4. Pede-se:
a) o valor mínimo do momento de inércia I_{\text{min}};
b) o valor máximo do momento de inércia I_{\text{max}};
c) o menor valor de momento de inércia I_{\text{menor}} referente a eixos girados 37^\circ no sentido anti‑horário a partir do eixo com I_{\max};
d) o maior valor de momento de inércia I_{\text{maior}} para esse mesmo sistema de eixos girado 37^\circ;
e) o produto de inércia I_{xy} relativo a esse sistema de eixos girado 37^\circ.
Informações relevantes dadas:
  • centro da circunferência = abscissa =80000\\ \mathrm{cm}^4 (isto é o valor médio dos momentos de inércia), ou seja \displaystyle I_{\text{médio}}=80000\\ \mathrm{cm}^4é;
  • raio da circunferência \displaystyle R=19652\\ \mathrm{cm}^4;
  • ângulo de rotação pedido em relação ao eixo de I_{\max}: \theta=37^\circ (sentido anti‑horário).

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática e fórmula usada):
A circunferência dos momentos de inércia tem centro na abscissa igual ao momento médio
I_{\text{médio}}=\frac{I_x+I_y}{2},é
e raio
R=\sqrt{\Big(\frac{I_x-I_y}{2}\Big)^2+I_{xy}^2}.
Quando os eixos estão alinhados com os eixos principais (produto de inércia nulo, I_{xy}=0), os momentos principais são os extremos da circunferência sobre o eixo horizontal. Assim, os momentos principal máximo e mínimo são dados por
I_{\max}=I_{\text{médio}}+R\qquad\text{e}\qquad I_{\min}=I_{\text{médio}}-R.éé
Vou usar essas fórmulas porque a circunferência dada já tem centro em 80000 e raio 19652, o que identifica imediatamente I_{\text{médio}}é e R.

Passo 3

Cálculo de I_{\max} e I_{\min} com as fórmulas acima:
I_{\text{médio}}=80000\\ \mathrm{cm}^4,\qquad R=19652\\ \mathrm{cm}^4.é
Então
I_{\max}=I_{\text{médio}}+R=80000+19652=99652\\ \mathrm{cm}^4,é
I_{\min}=I_{\text{médio}}-R=80000-19652=60348\\ \mathrm{cm}^4.é
(Estes são os momentos principais; note que I_{\max}-I_{\min}=2R=39304\\ \mathrm{cm}^4.)

Passo 4

Fórmulas de transformação para eixos girados (aula rápida):
Se partimos de eixos principais onde I_x=I_{\max}, I_y=I_{\min} e I_{xy}=0, e giramos os eixos um ângulo \theta no sentido anti‑horário, os momentos no novo sistema x'y' são
I_{x'}=I_{\text{médio}+}R\cos(2\theta),é
I_{y'}=I_{\text{médio}-}R\cos(2\theta),é
onde escrevo de forma compacta (explicando):
I_{x'}=I_{\text{médio}}+R\cos(2\theta),é
I_{y'}=I_{\text{médio}}-R\cos(2\theta).é
O produto de inércia no novo sistema é
I_{x'y'}= \frac{I_x-I_y}{2}\sin(2\theta) = R\sin(2\theta),
porque \displaystyle\frac{I_x-I_y}{2}=R. Aqui: I_{\text{médio}}é é a média dos momentos, R é o raio da circunferência, e \theta é o ângulo de rotação do eixo x' a partir do eixo de I_{\max}.

Passo 5

Aplicando para \theta=37^\circ. Primeiro calcule 2\theta:
2\theta=74^\circ.
Precisamos de \cos(74^\circ) e \sin(74^\circ). Usando relações trigonométricas (ou uma tabela/calculadora de trigonometria):
\cos(74^\circ)=\sin(16^\circ)\approx 0,2756373558,
\sin(74^\circ)=\cos(16^\circ)\approx 0,9594929736.

Passo 6

Cálculo de I_{x'} e I_{y'} (mostrando as contas):
I_{x'}=I_{\text{médio}}+R\cos(2\theta)=80000+19652\cdot 0,2756373558.é
Multiplicando:
19652\cdot 0,2756373558\approx 5416,817.
Logo
I_{x'}\approx 80000+5416,817=85416,817\\ \mathrm{cm}^4.
E
I_{y'}=80000-19652\cdot 0,2756373558\approx 80000-5416,817=74583,183\\ \mathrm{cm}^4.
Comparando: I_{y'} é o menor e I_{x'} o maior para esse par de eixos girados 37^\circ a partir do eixo de I_{\max}.

Passo 7

Cálculo do produto de inércia I_{x'y'}:
I_{x'y'}=R\sin(2\theta)=19652\cdot 0,9594929736.
Multiplicando:
19652\cdot 0,9594929736\approx 18855,956\\ \mathrm{cm}^4.
Portanto o produto de inércia no sistema girado 37^\circ é aproximadamente 18855,956\\ \mathrm{cm}^4. (O sinal é positivo porque \sin(74^\circ)>0 com a convenção adotada.)

Passo 8

Resumo e verificação rápida:
  • I_{\max}=99652\\ \mathrm{cm}^4 e I_{\min}=60348\\ \mathrm{cm}^4 satisfazem I_{\max}+I_{\min}=2\cdot 80000 e I_{\max}-I_{\min}=2R, como esperado.
  • Para rotação de 37^\circ a partir do eixo de I_{\max}:
    • maior momento no novo sistema I_{x'}\approx 85416,817\\ \mathrm{cm}^4;
    • menor momento no novo sistema I_{y'}\approx 74583,183\\ \mathrm{cm}^4;
    • produto de inércia I_{x'y'}\approx 18855,956\\ \mathrm{cm}^4.

Resposta

a) I_{\text{min}}=60348\\ \mathrm{cm}^4
b) I_{\text{max}}=99652\\ \mathrm{cm}^4
c) I_{\text{menor}}=74583,183\\ \mathrm{cm}^4
d) I_{\text{maior}}=85416,817\\ \mathrm{cm}^4
e) I_{xy}=18855,956\\ \mathrm{cm}^4

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