A circunferência representativa dos momentos e produtos de inércia de uma superfície plana tem raio
e centro em (
). Pede-se obter:
a) O valor mínimo de momento de inércia
;
b) O valor máximo de momento de inércia (
);
c) O menor valor de momento de inércia
referente a um sistema de eixos distante
do eixo com
medido no sentido anti-horário;
d) O maior valor de momento de inércia
referente a um sistema de eixos distante
do eixo com
medido no sentido antihorário;
e) O valor do produto de inércia
referente a um sistema de eixos distante
do eixo com
medido no sentido anti-horário.
a) O valor mínimo de momento de inércia
b) O valor máximo de momento de inércia (
c) O menor valor de momento de inércia
d) O maior valor de momento de inércia
e) O valor do produto de inércia
Passo 1
O enunciado dá a circunferência representativa dos momentos e produto de inércia com centro em
e raio
. Pede-se:
a) o valor mínimo do momento de inércia ;
b) o valor máximo do momento de inércia ;
c) o menor valor de momento de inércia referente a eixos girados
no sentido anti‑horário a partir do eixo com
;
d) o maior valor de momento de inércia para esse mesmo sistema de eixos girado
;
e) o produto de inércia relativo a esse sistema de eixos girado
.
a) o valor mínimo do momento de inércia
b) o valor máximo do momento de inércia
c) o menor valor de momento de inércia
d) o maior valor de momento de inércia
e) o produto de inércia
Informações relevantes dadas:
- centro da circunferência
abscissa (isto é o valor médio dos momentos de inércia), ou seja ; - raio da circunferência
; - ângulo de rotação pedido em relação ao eixo de
: (sentido anti‑horário).
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática e fórmula usada):
A circunferência dos momentos de inércia tem centro na abscissa igual ao momento médio
A circunferência dos momentos de inércia tem centro na abscissa igual ao momento médio
e raio
Quando os eixos estão alinhados com os eixos principais (produto de inércia nulo,
), os momentos principais são os extremos da circunferência sobre o eixo horizontal. Assim, os momentos principal máximo e mínimo são dados por
Vou usar essas fórmulas porque a circunferência dada já tem centro em
e raio
, o que identifica imediatamente
e
.
Passo 3
Cálculo de
e
com as fórmulas acima:
Então
(Estes são os momentos principais; note que
.)
Passo 4
Fórmulas de transformação para eixos girados (aula rápida):
Se partimos de eixos principais onde ,
e
, e giramos os eixos um ângulo
no sentido anti‑horário, os momentos no novo sistema
são
Se partimos de eixos principais onde
onde escrevo de forma compacta (explicando):
O produto de inércia no novo sistema é
porque
. Aqui:
é a média dos momentos,
é o raio da circunferência, e
é o ângulo de rotação do eixo
a partir do eixo de
.
Passo 5
Aplicando para
. Primeiro calcule
:
Precisamos de
e
. Usando relações trigonométricas (ou uma tabela/calculadora de trigonometria):
Passo 6
Cálculo de
e
(mostrando as contas):
Multiplicando:
Logo
E
Comparando:
é o menor e
o maior para esse par de eixos girados
a partir do eixo de
.
Passo 7
Cálculo do produto de inércia
:
Multiplicando:
Portanto o produto de inércia no sistema girado
é aproximadamente
. (O sinal é positivo porque
com a convenção adotada.)
Passo 8
Resumo e verificação rápida:
-
e satisfazem e , como esperado. - Para rotação de
a partir do eixo de : - maior momento no novo sistema
; - menor momento no novo sistema
; - produto de inércia
.
- maior momento no novo sistema
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)