1. Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:
f) x=y=z

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a reta definida pela igualdade
x=y=z.
A tarefa é: citar um ponto qualquer que pertença a essa reta e citar um vetor diretor dessa reta (ou seja, um vetor que indique a direção da reta).

Passo 2

Entendendo o que significa x=y=z. Essa igualdade quer dizer que qualquer ponto da reta tem as três coordenadas iguais; isto é, um ponto genérico da reta tem a forma
(x,y,z)=(t,t,t)
para algum número real t. Aqui foi usada a ideia simples: escolher uma das variáveis como parâmetro (aqui escolhi t) e igualar as outras a ela. Isso já é uma parametrização da reta.

Passo 3

Escrevendo a parametrização em forma vetorial:
\mathbf{r}(t)=(t,t,t)=t\,(1,1,1).
Dessa expressão vê-se imediatamente que:
  • para t=0 obtemos o ponto (0,0,0) que pertence à reta;
  • o coeficiente do parâmetro t é o vetor (1,1,1), que aponta a direção da reta.

Passo 4

Checagem (como fazer na prova): se escolher qualquer outro valor de t, por exemplo t=1, obtemos o ponto (1,1,1). A diferença entre (1,1,1) e (0,0,0) é
(1,1,1)-(0,0,0)=(1,1,1),
mostrando que (1,1,1) é realmente um vetor paralelo à reta. Em geral, qualquer ponto da reta pode ser escrito (a,a,a) e a diferença (a,a,a)-(0,0,0)=a(1,1,1) confirma que (1,1,1) é um vetor diretor.

Passo 5

Dica rápida para a prova: escolha sempre o parâmetro t e os valores t=0 ou t=1 para dar, respectivamente, um ponto e outro ponto da reta — isso facilita achar o vetor diretor por subtração. Mantenha a calma — para retas dadas por igualdades do tipo x=y=z a parametrização é imediata.

Resposta

Ponto: (0,0,0)
Vetor diretor: (1,1,1)

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