1. Representar graficamente as retas cujas equações são:
a) \left\{\begin{array}{l}y=-10+5 t \\\ z=9-3 t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta definida parametricamente nas variáveis y\) e \(z\) pelo parâmetro \(t\): \[\begin{cases} y = -10 + 5t,\\[4pt] z = 9 - 3t. \end{cases}
O que se pede: representar graficamente essa reta (ou seja, obter uma forma que permita desenhá‑la no plano ((y,z)] e indicar pontos/vetor diretor para traçá‑la).]

Passo 2

Ideia prática para desenhar uma reta dada por equações paramétricas: eliminar o parâmetro t para obter uma equação cartesiana entre y e z; além disso, identificar um ponto da reta e o vetor diretor para traçá‑la com facilidade.

Passo 3

Isolar t em função de y. Da primeira equação:
y = -10 + 5t \quad\Rightarrow\quad 5t = y + 10 \quad\Rightarrow\quad t = \dfrac{y+10}{5}.

Passo 4

Substituir esse t na expressão de z. Temos
z = 9 - 3t = 9 - 3\left(\dfrac{y+10}{5}\right).
Agora desenvolver a expressão:
z = 9 - \dfrac{3(y+10)}{5} = 9 - \dfrac{3y+30}{5}.
Colocar em denominador comum:
z = \dfrac{45}{5} - \dfrac{3y+30}{5} = \dfrac{45 - 3y - 30}{5} = \dfrac{15 - 3y}{5}.
Multiplicando ambos os lados por 5 para ficar mais simples:
5z = 15 - 3y.
Rearranjando para a forma linear padrão:
3y + 5z = 15.

Passo 5

Interpretação da equação cartesiana: \,3y+5z=15 é a equação da reta no plano (y,z). Para desenhar basta dois pontos distintos ou um ponto e o vetor diretor.
  • Vetor diretor: a partir da forma paramétrica, os coeficientes de t dão o vetor diretor \vec{v}=(5,\,-3) (primeira componente relativa ao eixo y, segunda ao eixo z). Esse vetor indica a direção da reta.
  • Um ponto da reta: tomar t=0
y(0)=-10,\quad z(0)=9,
logo o ponto P_0=(y,z)=(-10,\,9) está na reta.
  • Interceptos (úteis para desenhar): colocar y=0 em 3y+5z=15
5z=15\Rightarrow z=3,
portanto o ponto (0,3) é intercepto em z. Colocar z=0
3y=15\Rightarrow y=5,
portanto o ponto (5,0) é intercepto em y.

Passo 6

Como traçar a reta no papel (passo a passo para a prova):
  1. Desenhe os eixos y (horizontal) e z (vertical) do plano.
  2. Marque os pontos interceptos (5,0) e (0,3) — são fáceis de localizar.
  3. Una esses dois pontos com uma régua; essa é a reta \,3y+5z=15.
    Alternativamente, marque o ponto P_0=(-10,9) e, a partir dele, desenhe uma seta na direção do vetor \vec{v}=(5,-3) para confirmar a orientação.

Passo 7

Resumo prático: a reta dada é toda a solução de \,3y+5z=15, passa pelos pontos (5,0) e (0,3) e tem vetor diretor (5,-3). Desenhe esses pontos e ligue‑os para representar a reta.

Resposta

\;3y+5z=15, pontos (5,0) e (0,3); vetor diretor (5,-3).

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