- Sejam
subespaços de
:
-
,
-
,
-
.
Mostre que:
Verifique se cada uma dessas somas é direta.
(b)
,
Verifique se cada uma dessas somas é direta.
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
(escritos no enunciado) e pede, na parte (b), que se verifique a igualdade indicada. Vou listar explicitamente os dados que vou usar e o que preciso mostrar.
-
Dados extraídos do enunciado:
-
-
O que o item (b) pede:
- Verificar a igualdade
. - Além disso (pela primeira frase do enunciado), verificar se essa soma é direta (ou seja, se
).
Observação: o enunciado escreveu; aqui interpreto isso como .
- Verificar a igualdade
Passo 2
Vou lembrar as definições importantes (de modo bem prático, como na prova).
-
Definição de soma de subespaços: para subespaços
, Mostrar quepode ser feito mostrando que qualquer vetor arbitrário pode ser escrito como soma de um vetor de e um vetor de . -
Definição de soma direta: a soma
é direta (escreve-se ) se a interseção dos subespaços for só o vetor zero, Uma consequência prática: see , então a soma é direta. Mas na prova é melhor produzir uma demonstração elementar do tipo “se então ”.
Passo 3
Vou mostrar que qualquer vetor arbitrário
pode ser escrito como soma de um vetor de
e um vetor de
.
-
Escrevendo elementos típicos:
- Um vetor genérico de
tem a forma com . - Um vetor genérico de
tem a forma com .
- Um vetor genérico de
-
Queremos resolver, para dados
, as incógnitas na igualdade Compare coordenadas: isso dá o sistema -
Da segunda equação obtemos imediatamenteSubstituindo na primeira:Finalmente, da terceira:
-
Conclusão dessa etapa: para quaisquer
escolhemos . Portanto Comoera arbitrário, obtemos . A inclusão oposta é trivial, logo
Passo 4
Agora vou verificar se a soma é direta, isto é, se
.
- Tome um vetor
. Então implica que tem a forma para algum . - Como também
, sua coordenada devem satisfazer . Mas aqui e , logo a condição fica - Portanto
. Isso mostra que .
Passo 5
Interpretação final e verificação por dimensões (cheia de intuição para a prova):
- Já mostramos que
e que a interseção é trivial. Isso é exatamente a condição para dizer que - Como checagem rápida de consistência:
(dois vetores geradores independentes) e ; , o que é consistente com a soma direta obtida acima.