1. Sejam U_{1}, U_{2}, U_{3} subespaços de \mathbb{R}^{3} :
  • U_{1}=\{(a, b, c): a=c\}=\{(a, b, a): a, b \in \mathbb{R}\}=[(1,0,1),(0,1,0)],
  • U_{2}=\{(a, b, c): a+b+c=0\}=\{(-b-c, b, c): b, c \in \mathbb{R}\}=[(-1,1,0),(-1,0,1)],
  • U_{3}=\{(0,0, c)\}=[(0,0,1)].
Mostre que:
Verifique se cada uma dessas somas é direta.
(b) \mathbb{R}^{\mathrm{o}}=U_{2}+U_{3},

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^3 (escritos no enunciado) e pede, na parte (b), que se verifique a igualdade indicada. Vou listar explicitamente os dados que vou usar e o que preciso mostrar.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • U_{2}=\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 : a+b+c=0\}=\{(-b-c,b,c):b,c\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}.
    • U_{3}=\{(0,0,c):c\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.
  • O que o item (b) pede:
    • Verificar a igualdade \mathbb{R}^3 = U_{2}+U_{3}.
    • Além disso (pela primeira frase do enunciado), verificar se essa soma é direta (ou seja, se U_2\cap U_3=\{(0,0,0)\}).
      Observação: o enunciado escreveu \mathbb{R}^{\mathrm{o}}; aqui interpreto isso como \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vou lembrar as definições importantes (de modo bem prático, como na prova).
  • Definição de soma de subespaços: para subespaços V,W\subseteq\mathbb{R}^3,
    V+W=\{v+w : v\in V,\; w\in W\}.
    Mostrar que V+W=\mathbb{R}^3 pode ser feito mostrando que qualquer vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como soma de um vetor de V e um vetor de W.
  • Definição de soma direta: a soma V+W é direta (escreve-se V\oplus W) se a interseção dos subespaços for só o vetor zero,
    V\cap W=\{(0,0,0)\}.
    Uma consequência prática: se \dim V+\dim W=\dim(\mathbb{R}^3)=3 e V+W=\mathbb{R}^3, então a soma é direta. Mas na prova é melhor produzir uma demonstração elementar do tipo “se v\in V\cap W então v=0”.

Passo 3

Vou mostrar que qualquer vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como soma de um vetor de U_2 e um vetor de U_3.
  • Escrevendo elementos típicos:
    • Um vetor genérico de U_2 tem a forma (-b-c,b,c) com b,c\in\mathbb{R}.
    • Um vetor genérico de U_3 tem a forma (0,0,t) com t\in\mathbb{R}.
  • Queremos resolver, para dados x,y,z, as incógnitas b,c,t na igualdade
    (-b-c,b,c)+(0,0,t)=(x,y,z).
    Compare coordenadas: isso dá o sistema
    -b-c = x,\qquad b = y,\qquad c + t = z.
  • Da segunda equação obtemos imediatamente
    b = y.
    Substituindo na primeira:
    -y - c = x \quad\Rightarrow\quad c = -x - y.
    Finalmente, da terceira:
    t = z - c = z - (-x - y) = z + x + y.
  • Conclusão dessa etapa: para quaisquer x,y,z escolhemos b=y,\; c=-x-y,\; t=z+x+y. Portanto
    (x,y,z)=(-b-c,b,c)+(0,0,t)\in U_2+U_3.
    Como (x,y,z) era arbitrário, obtemos \mathbb{R}^3 \subseteq U_2+U_3. A inclusão oposta U_2+U_3\subseteq\mathbb{R}^3 é trivial, logo
    \mathbb{R}^3 = U_2 + U_3.

Passo 4

Agora vou verificar se a soma é direta, isto é, se U_2\cap U_3=\{(0,0,0)\}.
  • Tome um vetor v\in U_2\cap U_3. Então v\in U_3 implica que v tem a forma (0,0,c) para algum c\in\mathbb{R}.
  • Como também v\in U_2, sua coordenada devem satisfazer a+b+c=0. Mas aqui a=0 e b=0, logo a condição fica 0+0+c=0 \quad\Rightarrow\quad c=0.
  • Portanto v=(0,0,0). Isso mostra que U_2\cap U_3=\{(0,0,0)\}.

Passo 5

Interpretação final e verificação por dimensões (cheia de intuição para a prova):
  • Já mostramos que U_2+U_3=\mathbb{R}^3 e que a interseção é trivial. Isso é exatamente a condição para dizer que \mathbb{R}^3 = U_2 \oplus U_3.
  • Como checagem rápida de consistência: \dim U_2=2 (dois vetores geradores independentes) e \dim U_3=1; \dim U_2+\dim U_3=3=\dim\mathbb{R}^3, o que é consistente com a soma direta obtida acima.

Resposta

\mathbb{R}^3 = U_{2} + U_{3}\n
\mathbb{R}^3 = U_{2} \oplus U_{3}

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