Cite pelo menos 5 teoremas/propriedades de convergência de sequência.

Passo 1

O que o enunciado pede: citar pelo menos cinco teoremas ou propriedades sobre convergência de sequências.
Informações relevantes que já temos (implicitas no pedido): queremos resultados clássicos usados em análise real sobre quando sequências convergem, quais consequências da convergência e critérios equivalentes. Nada mais foi dado pelo enunciado, então vou listar e explicar cada teorema/propriedade com enunciado, ideia da prova e exemplos para você entender e usar na prova.

Passo 2

Antes de entrar nos teoremas, vamos fixar a definição de convergência de sequência (isso é essencial para entender as provas).
Definição (epsilon–N). Dizemos que a sequência (a_n) converge para L e escrevemos \lim_{n\to\infty} a_n = L se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, vale |a_n-L|<\varepsilon.
Explicação intuitiva: dado qualquer “tamanho de tolerância” \varepsilon, a partir de algum índice N todos os termos da sequência ficam dentro do intervalo aberto (L-\varepsilon,\,L+\varepsilon).
Exemplo simples: para a_n=\dfrac{1}{n} mostramos que \lim_{n\to\infty} a_n = 0. De fato, dado \varepsilon>0 escolha N>\dfrac{1}{\varepsilon}. Então, se n\ge N, temos |a_n-0|=\dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{N}<\varepsilon.

Passo 3

Teorema 1 — Unicidade do limite. Enunciado: se \lim_{n\to\infty} a_n = L e \lim_{n\to\infty} a_n = M então L=M.
Intuição e prova curta: suponha L\ne M. Tome \varepsilon=\dfrac{|L-M|}{2}>0. Pelo fato de a_n convergir a L existe N_1 tal que |a_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N_1. Similarmente existe N_2 para M. Para n\ge\max\{N_1,N_2\} teríamos |L-M|\le|L-a_n|+|a_n-M|<2\varepsilon=|L-M|, contradição. Logo L=M.
Exemplo de uso na prova: se você conseguir mostrar que \lim a_n é ao mesmo tempo L_1 e L_2, pode concluir que esses valores coincidem — é uma ferramenta para checar consistência.

Passo 4

Teorema 2 — Toda sequência convergente é limitada (bounded). Enunciado: se \lim_{n\to\infty} a_n = L então existe M>0 tal que |a_n|\le M para todo n.
Prova curta: pegue \varepsilon=1. Existe N tal que |a_n-L|<1 para n\ge N. Então para n\ge N tem |a_n|\le|L|+1. Para os n<N são finitos, então tomamos M=\max\{|a_1|,\dots,|a_{N-1}|,|L|+1\}. Assim |a_n|\le M para todo n.
Exemplo: isso explica por que se você consegue provar que uma sequência não é limitada, então ela não pode convergir.

Passo 5

Teorema 3 — Regras algébricas para limites (soma, produto, quociente, constante). Enunciado principal:
  • Se \lim a_n = A e \lim b_n = B então \lim (a_n+b_n)=A+B e \lim (a_n b_n)=AB.
  • Para constante c\in\mathbb{R}, \lim (c\,a_n)=cA.
  • Se B\ne 0 e b_n\ne 0 eventualmente, então \lim (a_n/b_n)=A/B.
Ideia da prova: usa a definição epsilon–N e desigualdades triangulares. Por exemplo, para a soma, dado \varepsilon>0 escolha N_1 e N_2 que controlam |a_n-A|<\varepsilon/2 e |b_n-B|<\varepsilon/2; para n\ge\max\{N_1,N_2\} então |(a_n+b_n)-(A+B)|\le|a_n-A|+|b_n-B|<\varepsilon.
Exemplo rápido: se a_n=\dfrac{1}{n} e b_n=2+\dfrac{(-1)^n}{n} então a_n\to0, b_n\to2, logo a_n+b_n\to2 e a_n b_n\to0.
Dica de prova de exame: controlar cada termo separadamente com metades de \varepsilon ou proporções convenientes.

Passo 6

Teorema 4 — Teorema do confronto (squeeze theorem). Enunciado: se a_n\le c_n\le b_n para todo n a partir de algum índice e \lim a_n=\lim b_n = L, então \lim c_n = L.
Prova curta: dado \varepsilon>0 existe N tal que para n\ge N tem |a_n-L|<\varepsilon e |b_n-L|<\varepsilon, então L-\varepsilon<a_n\le c_n\le b_n<L+\varepsilon e assim |c_n-L|<\varepsilon.
Exemplo de aplicação: mostrar \lim_{n\to\infty} \dfrac{\sin n}{n}=0. Tomamos -\dfrac{1}{n}\le \dfrac{\sin n}{n}\le \dfrac{1}{n} e como \dfrac{1}{n}\to0 o termo central também vai para 0.

Passo 7

Teorema 5 — Teorema da monotonia (teorema das sequências monótonas). Enunciado: toda sequência monotônica e limitada converge. Mais precisamente:
  • Se (a_n) é monotonicamente crescente e limitada superiormente, então \lim_{n\to\infty} a_n = \sup\{a_n : n\in\mathbb{N}\}.
  • Se (a_n) é monotonicamente decrescente e limitada inferiormente, então converge para o ínfimo.
Ideia da prova: para sequência crescente usar o supremo L do conjunto de seus termos e mostrar (usando definição de supremo) que para qualquer \varepsilon>0 existe um termo a_N dentro de (L-\varepsilon,L] e depois monotonicidade garante que todos os posteriores também ficam em (L-\varepsilon,L].
Exemplo: a_n=1-\dfrac{1}{2^n} é crescente e limitada por 1, logo converge para 1.
Uso prático: para provar convergência de séries parciais ou de sequências definidas recursivamente, verifique monotonia e limite superior/inferior.

Passo 8

Teorema 6 — Bolzano–Weierstrass. Enunciado: toda sequência limitada em \mathbb{R} possui uma subsequência convergente.
Importância: é uma ferramenta poderosa quando a sequência não converge em si; garante que sempre existe algum “ramo” convergente (subsequência). Prova clássica: método da bissecção de intervalos (ou diagrama de Cantor) — dividir o intervalo que contém a sequência em dois, escolher um sem intervalo contendo infinitos termos, repetir e extrair índices.
Exemplo de aplicação: da sequência a_n = (-1)^n + 1/n (não converge porque oscila), mas é limitada, e tem subsequências convergentes: a_{2n}\to 1 e a_{2n+1}\to -1.

Passo 9

Teorema 7 — Critério de Cauchy (caract. de convergência em \mathbb{R}). Enunciado: uma sequência (a_n) em \mathbb{R} converge se, e somente se, ela é uma sequência de Cauchy, isto é:
\text{\((a_n)\) é Cauchy} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall \varepsilon>0\ \exists N\ \text{tal que}\ |a_n-a_m|<\varepsilon\ \text{para todo }n,m\ge N.é
Comentário: a implicação “convergente \Rightarrow Cauchy” é imediata por desigualdade triangular. A implicação inversa usa a completude de \mathbb{R}: toda sequência Cauchy em \mathbb{R} converge (essa é uma propriedade do conjunto dos reais).
Como usar: em provas onde é difícil identificar o limite, às vezes é mais fácil checar que as diferenças a_n-a_m ficam pequenas quando n,m grandes.

Passo 10

Teorema 8 — Preservação de limites por funções contínuas. Enunciado: se \lim_{n\to\infty} a_n = L e f é contínua em L, então \lim_{n\to\infty} f(a_n) = f(L).
Explicação: continuidade em L significa que dados \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |x-L|<\delta implica |f(x)-f(L)|<\varepsilon. Como a_n\to L, existe N com |a_n-L|<\delta para n\ge N, daí o resultado.
Exemplo: se a_n\to 2 então a_n^2 \to 4 porque x\mapsto x^2 é contínua.

Passo 11

Dicas práticas para prova (motivação e estratégias rápidas):
  • Comece identificando se a sequência é monotona ou limitada: isso já resolve muitos exercícios.
  • Use unicidade para eliminar dúvidas sobre dois candidatos a limite.
  • Use operações algébricas (Passo 5) com o truque das divisões do \varepsilon (metade, tercos etc.) para controlar vários termos.
  • Quando a sequência oscila, procure subsequências (Bolzano–Weierstrass) ou verifique se há dois limites possíveis e conclua falta de convergência.
  • Para sequências definidas por recursão, tente monotonicidade + limite candidato (substituir L na relação para achar possível limite) e depois prove convergência por monotonia e limite superior/inferior.
Força aí — com essas propriedades você já tem um bom kit para quase todas as questões de sequências em prova.

Resposta

Unicidade do limite: se \lim_{n\to\infty} a_n=L e \lim_{n\to\infty} a_n=M então L=M.\nToda sequência convergente é limitada: \lim_{n\to\infty} a_n=L\Rightarrow (a_n) é limitada.\nRegras algébricas dos limites: se \lim a_n=A e \lim b_n=B então \lim(a_n\pm b_n)=A\pm B, \lim(ca_n)=cA, \lim(a_n b_n)=AB, e se B\ne0 então \lim(a_n/b_n)=A/B.\nTeorema do confronto (squeeze): se a_n\le c_n\le b_n e \lim a_n=\lim b_n=L então \lim c_n=L.\nTeorema da monotonia: toda sequência monotônica e limitada converge (crescente limitada superiormente converge para seu supremo; análogo para decrescente).\nBolzano–Weierstrass: toda sequência limitada em \mathbb{R} tem uma subsequência convergente.\nCritério de Cauchy: em \mathbb{R}, (a_n) converge se, e somente se, é uma sequência de Cauchy.\nPreservação por funções contínuas: se \lim a_n=L e f é contínua em L então \lim f(a_n)=f(L).

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