Cite pelo menos 5 teoremas/propriedades de convergência de sequência.
Passo 1
O que o enunciado pede: citar pelo menos cinco teoremas ou propriedades sobre convergência de sequências.
Informações relevantes que já temos (implicitas no pedido): queremos resultados clássicos usados em análise real sobre quando sequências convergem, quais consequências da convergência e critérios equivalentes. Nada mais foi dado pelo enunciado, então vou listar e explicar cada teorema/propriedade com enunciado, ideia da prova e exemplos para você entender e usar na prova.
Informações relevantes que já temos (implicitas no pedido): queremos resultados clássicos usados em análise real sobre quando sequências convergem, quais consequências da convergência e critérios equivalentes. Nada mais foi dado pelo enunciado, então vou listar e explicar cada teorema/propriedade com enunciado, ideia da prova e exemplos para você entender e usar na prova.
Passo 2
Antes de entrar nos teoremas, vamos fixar a definição de convergência de sequência (isso é essencial para entender as provas).
Definição (epsilon–N). Dizemos que a sequência converge para
e escrevemos
se, para todo
, existe um inteiro
tal que, para todo
, vale
.
Definição (epsilon–N). Dizemos que a sequência
Explicação intuitiva: dado qualquer “tamanho de tolerância”
, a partir de algum índice
todos os termos da sequência ficam dentro do intervalo aberto
.
Exemplo simples: para mostramos que
. De fato, dado
escolha
. Então, se
, temos
.
Exemplo simples: para
Passo 3
Teorema 1 — Unicidade do limite. Enunciado: se
e
então
.
Intuição e prova curta: suponha
. Tome
. Pelo fato de
convergir a
existe
tal que
para todo
. Similarmente existe
para
. Para
teríamos
, contradição. Logo
.
Exemplo de uso na prova: se você conseguir mostrar que
é ao mesmo tempo
e
, pode concluir que esses valores coincidem — é uma ferramenta para checar consistência.
Passo 4
Teorema 2 — Toda sequência convergente é limitada (bounded). Enunciado: se
então existe
tal que
para todo
.
Prova curta: pegue
. Existe
tal que
para
. Então para
tem
. Para os
são finitos, então tomamos
. Assim
para todo
.
Exemplo: isso explica por que se você consegue provar que uma sequência não é limitada, então ela não pode convergir.
Passo 5
Teorema 3 — Regras algébricas para limites (soma, produto, quociente, constante). Enunciado principal:
- Se
e então e . - Para constante
, . - Se
e eventualmente, então .
Ideia da prova: usa a definição epsilon–N e desigualdades triangulares. Por exemplo, para a soma, dado
escolha
e
que controlam
e
; para
então
.
Exemplo rápido: se
e
então
,
, logo
e
.
Dica de prova de exame: controlar cada termo separadamente com metades de
ou proporções convenientes.
Passo 6
Teorema 4 — Teorema do confronto (squeeze theorem). Enunciado: se
para todo
a partir de algum índice e
, então
.
Prova curta: dado
existe
tal que para
tem
e
, então
e assim
.
Exemplo de aplicação: mostrar
. Tomamos
e como
o termo central também vai para
.
Passo 7
Teorema 5 — Teorema da monotonia (teorema das sequências monótonas). Enunciado: toda sequência monotônica e limitada converge. Mais precisamente:
- Se
é monotonicamente crescente e limitada superiormente, então . - Se
é monotonicamente decrescente e limitada inferiormente, então converge para o ínfimo.
Ideia da prova: para sequência crescente usar o supremo
do conjunto de seus termos e mostrar (usando definição de supremo) que para qualquer
existe um termo
dentro de
e depois monotonicidade garante que todos os posteriores também ficam em
.
Exemplo:
é crescente e limitada por
, logo converge para
.
Uso prático: para provar convergência de séries parciais ou de sequências definidas recursivamente, verifique monotonia e limite superior/inferior.
Passo 8
Teorema 6 — Bolzano–Weierstrass. Enunciado: toda sequência limitada em
possui uma subsequência convergente.
Importância: é uma ferramenta poderosa quando a sequência não converge em si; garante que sempre existe algum “ramo” convergente (subsequência). Prova clássica: método da bissecção de intervalos (ou diagrama de Cantor) — dividir o intervalo que contém a sequência em dois, escolher um sem intervalo contendo infinitos termos, repetir e extrair índices.
Exemplo de aplicação: da sequência
(não converge porque oscila), mas é limitada, e tem subsequências convergentes:
e
.
Passo 9
Teorema 7 — Critério de Cauchy (caract. de convergência em
). Enunciado: uma sequência
em
converge se, e somente se, ela é uma sequência de Cauchy, isto é:
Comentário: a implicação “convergente
Cauchy” é imediata por desigualdade triangular. A implicação inversa usa a completude de
: toda sequência Cauchy em
converge (essa é uma propriedade do conjunto dos reais).
Como usar: em provas onde é difícil identificar o limite, às vezes é mais fácil checar que as diferenças
ficam pequenas quando
grandes.
Passo 10
Teorema 8 — Preservação de limites por funções contínuas. Enunciado: se
e
é contínua em
, então
.
Explicação: continuidade em
significa que dados
existe
tal que
implica
. Como
, existe
com
para
, daí o resultado.
Exemplo: se
então
porque
é contínua.
Passo 11
Dicas práticas para prova (motivação e estratégias rápidas):
- Comece identificando se a sequência é monotona ou limitada: isso já resolve muitos exercícios.
- Use unicidade para eliminar dúvidas sobre dois candidatos a limite.
- Use operações algébricas (Passo 5) com o truque das divisões do
(metade, tercos etc.) para controlar vários termos. - Quando a sequência oscila, procure subsequências (Bolzano–Weierstrass) ou verifique se há dois limites possíveis e conclua falta de convergência.
- Para sequências definidas por recursão, tente monotonicidade + limite candidato (substituir
na relação para achar possível limite) e depois prove convergência por monotonia e limite superior/inferior.
Força aí — com essas propriedades você já tem um bom kit para quase todas as questões de sequências em prova.
Resposta
Unicidade do limite: se
e
então
.\nToda sequência convergente é limitada:
é limitada.\nRegras algébricas dos limites: se
e
então
,
,
, e se
então
.\nTeorema do confronto (squeeze): se
e
então
.\nTeorema da monotonia: toda sequência monotônica e limitada converge (crescente limitada superiormente converge para seu supremo; análogo para decrescente).\nBolzano–Weierstrass: toda sequência limitada em
tem uma subsequência convergente.\nCritério de Cauchy: em
,
converge se, e somente se, é uma sequência de Cauchy.\nPreservação por funções contínuas: se
e
é contínua em
então
.