Não há nenhuma definição explícita para h(0) no enunciado (ou seja, o valor em x=0 não foi dado).
O que precisamos encontrar é o limite quando x tende a 0 (isto envolve, em geral, verificar os limites laterais à esquerda e à direita).]
Passo 2
Conceito essencial: o limite \lim_{x\to 0} h(x) existe se, e somente se, os limites laterais existirem e forem iguais:
\lim_{x\to 0^-} h(x)=\lim_{x\to 0^+} h(x).
Aqui \lim_{x\to 0^-} h(x) é o limite quando x se aproxima de 0 vindo da esquerda (valores negativos), e \lim_{x\to 0^+} h(x) é o limite quando x se aproxima de 0 vindo da direita (valores positivos). Se esses dois forem iguais a um mesmo número L, dizemos que \lim_{x\to0}h(x)=L.
Passo 3
Calcular o limite lateral pela esquerda. Para x<0 temos h(x)=x. Então
\lim_{x\to 0^-} h(x)=\lim_{x\to 0^-} x.
A função x (função identidade) é contínua em todo lugar, portanto o limite quando x\to 0 é simplesmente 0. Logo
\lim_{x\to 0^-} h(x)=0.
Explicação intuitiva e numérica: se x=-0{,}1 então h(x)=-0{,}1; se x=-0{,}01 então h(x)=-0{,}01. Esses valores ficam cada vez mais próximos de 0 quando x se aproxima de 0 pela esquerda.
Passo 4
Calcular o limite lateral pela direita. Para 0<x\leq2 temos h(x)=x^{2}. Então
\lim_{x\to 0^+} h(x)=\lim_{x\to 0^+} x^{2}.
A função x^{2} é contínua, logo o limite quando x\to 0 é 0^{2}=0. Portanto
\lim_{x\to 0^+} h(x)=0.
Explicação intuitiva e numérica: se x=0{,}1 então h(x)=0{,}01; se x=0{,}01 então h(x)=0{,}0001. Esses valores também tendem a 0 quando x se aproxima de 0 pela direita.
Como os dois limites laterais existem e são iguais, o limite \lim_{x\to 0} h(x) existe e vale o mesmo número, isto é 0.
Observação útil para prova: o valor de h(0) (se estivesse definido ou não) não altera o valor do limite. O limite é sobre o comportamento da função ao se aproximar de 0, não sobre o valor no próprio ponto.