verifiear a convergéncia das séries abaixo.
2.1) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n}{3 n+1}
2.2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2}}
2.3) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{\left(n^{2}(n+1)^{2}\right)}
2.4) \sum_{n=1}^{\infty} \ln \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+1}=0
2.5) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{3 n}\right)
2.6) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{2^{n}}-\frac{2}{3^{n}}\right)
2. 7) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}}{3^{n}}
2.8) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{3 n}}{n^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência das oito séries dadas. Vou listar cada série exatamente como foi dada (isso é o que temos para trabalhar):
  • Série 2.1: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n}{3 n+1}.
  • Série 2.2: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2}}.
  • Série 2.3: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{\left(n^{2}(n+1)^{2}\right)}.
  • Série 2.4: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+1}.
  • Série 2.5: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{3 n}\right).
  • Série 2.6: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{2^{n}}-\frac{2}{3^{n}}\right).
  • Série 2.7: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}}{3^{n}}.
  • Série 2.8: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{3 n}}{n^{n}}.
O pedido é: para cada uma, determinar se a série converge ou diverge. Em alguns casos é natural também identificar se a convergência é absoluta e, quando for simples, calcular a soma.

Passo 2

Antes de atacar cada série, vamos revisar rapidamente (de forma prática) os testes e ideias que vamos usar — passo a passo e explicadinho, como você pediu:
  • Teste necessário (teste do termo): Se os termos a_{n} de uma série \sum a_{n} não tendem a zero, a série diverge. Isto é, se \lim_{n\to\infty} a_{n}\neq 0 então diverge.
  • Teste da comparação / comparação limite: comparar com séries conhecidas como a série harmônica \sum 1/n (diverge) ou as p-séries \sum 1/n^{p} (converge se p>1, diverge se p\le 1).
  • Séries geométricas: \sum r^{n} converge se |r|<1 e tem soma \dfrac{r}{1-r} (quando somada de n=1 a \infty).
  • Teste da razão e teste da raiz: úteis quando há fatores n!, potências a^{n} ou n^{n}. A razão verifica \lim_{n\to\infty} |a_{n+1}/a_{n}|. A raiz verifica \limsup_{n\to\infty} |a_{n}|^{1/n}.
  • Decomposição em frações parciais / telescopagem: às vezes um termo pode ser escrito como diferença b_{n}-b_{n+1} e então a soma telescopa e converge facilmente.
  • Convergência absoluta: se \sum |a_{n}| converge, então \sum a_{n} converge (absoluta implica convergência). Se \sum |a_{n}| diverge, podemos ainda ter convergência condicional para séries alternadas (mas aí precisamos de critérios adicionais, p.ex. Leibniz).
Agora aplico essas ideias a cada série, com cálculos detalhados.

Passo 3

Série: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n}{3 n+1}.
Aplicação do teste necessário: para que a série convirja, o termo geral deve tender a zero. Calculemos o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty} \frac{2 n}{3 n+1}.
Para calcular limites de frações racionais de polinômios, divide-se numerador e denominador por n:
\frac{2 n}{3 n+1} = \frac{2}{3 + 1/n} \quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty} \frac{2}{3 + 1/n} = \frac{2}{3}.
O termo geral tende a \dfrac{2}{3}, que não é zero. Pelo teste necessário, isso basta para concluir que a série diverge. Não é preciso mais nada.

Passo 4

Série: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2}}.
Primeiro simplifico o termo:
\frac{n+1}{n^{2}} = \frac{n}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}.
A série então é
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \;+\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} .
Sabemos que \sum 1/n (série harmônica) diverge e \sum 1/n^{2} converge (p-série com p=2>1). A soma de uma série divergente com outra (mesmo que convergente) diverge. Logo a série diverge.
Outra forma rápida: compare \dfrac{n+1}{n^{2}} \ge \dfrac{1}{n} para n\ge 1 até constantes, mas a decomposição acima é mais direta.

Passo 5

Série: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
Aqui uma boa ideia é tentar frações parciais para ver se telescopa. Buscamos constantes A,B,C,D tais que
\frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n^{2}} + \frac{C}{n+1} + \frac{D}{(n+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por n^{2}(n+1)^{2}
2n+1 = A n (n+1)^{2} + B (n+1)^{2} + C n^{2}(n+1) + D n^{2}.
Em vez de expandir tudo, avaliamos em valores convenientes:
  • Para n=0 (uma técnica válida para achar coeficiente de 1/n^{2}): obtemos 1 = B.
  • Para n=-1: obtemos -1 = D.
Agora igualamos coeficientes de termos polinomiais (ou usamos as relações restantes). Expandindo os termos em n e comparando coeficientes resulta em um sistema que leva a A=0 e C=0. Com isso encontramos a decomposição simples:
\frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n+1)^{2}}.
Verificação rápida: o numerador da diferença é (n+1)^{2}-n^{2}=2n+1, logo está certo.
Agora a soma telescopa: para N finito,
\sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n+1)^{2}}\right) = \left(\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}}\right) + \left(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N^{2}} - \frac{1}{(N+1)^{2}}\right).
Quase tudo cancela e sobra
\sum_{n=1}^{N} = \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{(N+1)^{2}}.
Tomando N\to\infty, \dfrac{1}{(N+1)^{2}}\to 0. Logo a série converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} = 1.

Passo 6

Série: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+1}.
Primeiro simplifico a expressão dentro do log. Para n\ge 1,
\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+1} = \frac{1/n}{1 + 1/n} = \frac{1}{n+1}.
Portanto o termo geral é
\ln\frac{1}{n+1} = -\ln(n+1).
Logo a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} -\ln(n+1) = -\sum_{n=1}^{\infty} \ln(n+1).
Agora observe que \ln(n+1)\to\infty quando n\to\infty. Em particular o termo geral -\ln(n+1) não tende a zero: tende a -\infty. Pelo teste necessário (os termos têm de tender a zero), a série diverge imediatamente — na verdade os termos crescem em magnitude sem ir a zero, então as somas parciais divergem para -\infty. Conclusão: diverge (para -\infty).

Passo 7

Série: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{3 n}\right).
Simplifico o termo:
\frac{1}{2 n}-\frac{1}{3 n} = \frac{3-2}{6n} = \frac{1}{6n}.
Então a série é \dfrac{1}{6}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}. A série \sum 1/n diverge (harmônica), logo multiplicada por constante também diverge. Conclusão: diverge.

Passo 8

Série: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{2^{n}}-\frac{2}{3^{n}}\right).
Esta é soma da diferença de duas séries geométricas. Escrevo separadamente:
3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} \;-\; 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}.
Usando a fórmula da série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \dfrac{r}{1-r} para |r|<1:
  • \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^{n}} = \dfrac{1/2}{1-1/2} = 1.
  • \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{3^{n}} = \dfrac{1/3}{1-1/3} = \dfrac{1/3}{2/3} = \dfrac{1}{2}.
Portanto a soma total é
3\cdot 1 - 2\cdot \frac{1}{2} = 3 - 1 = 2.
Em particular a série converge (é convergente absolutamente, sendo diferença de séries geométricas convergentes) e sua soma vale 2.

Passo 9

Série: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}}{3^{n}}.
Aqui consideramos a convergência absoluta primeiro, porque se \sum |a_{n}| converge então \sum a_{n} converge automaticamente. Avaliemos \sum |a_{n}| = \sum \dfrac{n^{2}}{3^{n}}.
Aplico o teste da razão (muito simples quando há potências exponenciais):
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)^{2}/3^{\,n+1}}{n^{2}/3^{n}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}\cdot\frac{1}{3}.
Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1^{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{3} < 1.
Pelo teste da razão, \sum n^{2}/3^{n} converge. Assim a série original converge absolutamente, e portanto converge.
Observação didática rápida: exponenciais do tipo 3^{n} no denominador vencem polinômios n^{2} no numerador, por isso os termos decaem muito rápido.

Passo 10

Série: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{3 n}}{n^{n}}.
Primeiro interpreto o termo em módulo:
\left|\frac{2^{3 n}}{n^{n}}\right| = \frac{8^{n}}{n^{n}} = \left(\frac{8}{n}\right)^{n}.
Para testar convergência absoluta uso o teste da raiz (é perfeito para expressões do tipo a_{n}^{\,n}):
\limsup_{n\to\infty} |a_{n}|^{1/n} = \lim_{n\to\infty} \left(\left(\frac{8}{n}\right)^{n}\right)^{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{8}{n} = 0.
Como o limite (ou limsup) da n-ésima raiz é 0<1, o teste da raiz garante que \sum |a_{n}| converge, portanto a série converge absolutamente e, em consequência, converge.
Intuição: para n grande, \dfrac{8}{n}<1 e elevado a n isso cai extremamente rápido para zero.

Resposta

2.1 Diverge.
2.2 Diverge.
2.3 Converge (soma 1).
2.4 Diverge (os termos \to -\infty, soma diverge para -\infty).
2.5 Diverge.
2.6 Converge (soma 2).
2.7 Converge (convergência absoluta).
2.8 Converge (convergência absoluta).

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