O enunciado pede para verificar a convergência das oito séries dadas. Vou listar cada série exatamente como foi dada (isso é o que temos para trabalhar):
Série 2.1: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n}{3 n+1}.
Série 2.2: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2}}.
Série 2.3: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{\left(n^{2}(n+1)^{2}\right)}.
Série 2.4: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+1}.
Série 2.5: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{3 n}\right).
Série 2.6: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{2^{n}}-\frac{2}{3^{n}}\right).
Série 2.7: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}}{3^{n}}.
Série 2.8: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{3 n}}{n^{n}}.
O pedido é: para cada uma, determinar se a série converge ou diverge. Em alguns casos é natural também identificar se a convergência é absoluta e, quando for simples, calcular a soma.
Passo 2
Antes de atacar cada série, vamos revisar rapidamente (de forma prática) os testes e ideias que vamos usar — passo a passo e explicadinho, como você pediu:
Teste necessário (teste do termo): Se os termos a_{n} de uma série \sum a_{n} não tendem a zero, a série diverge. Isto é, se \lim_{n\to\infty} a_{n}\neq 0 então diverge.
Teste da comparação / comparação limite: comparar com séries conhecidas como a série harmônica \sum 1/n (diverge) ou as p-séries \sum 1/n^{p} (converge se p>1, diverge se p\le 1).
Séries geométricas: \sum r^{n} converge se |r|<1 e tem soma \dfrac{r}{1-r} (quando somada de n=1 a \infty).
Teste da razão e teste da raiz: úteis quando há fatores n!, potências a^{n} ou n^{n}. A razão verifica \lim_{n\to\infty} |a_{n+1}/a_{n}|. A raiz verifica \limsup_{n\to\infty} |a_{n}|^{1/n}.
Decomposição em frações parciais / telescopagem: às vezes um termo pode ser escrito como diferença b_{n}-b_{n+1} e então a soma telescopa e converge facilmente.
Convergência absoluta: se \sum |a_{n}| converge, então \sum a_{n} converge (absoluta implica convergência). Se \sum |a_{n}| diverge, podemos ainda ter convergência condicional para séries alternadas (mas aí precisamos de critérios adicionais, p.ex. Leibniz).
Agora aplico essas ideias a cada série, com cálculos detalhados.
Sabemos que \sum 1/n (série harmônica) diverge e \sum 1/n^{2} converge (p-série com p=2>1). A soma de uma série divergente com outra (mesmo que convergente) diverge. Logo a série diverge.
Outra forma rápida: compare \dfrac{n+1}{n^{2}} \ge \dfrac{1}{n} para n\ge 1 até constantes, mas a decomposição acima é mais direta.
Multiplicando ambos os lados por n^{2}(n+1)^{2} dá
2n+1 = A n (n+1)^{2} + B (n+1)^{2} + C n^{2}(n+1) + D n^{2}.
Em vez de expandir tudo, avaliamos em valores convenientes:
Para n=0 (uma técnica válida para achar coeficiente de 1/n^{2}): obtemos 1 = B.
Para n=-1: obtemos -1 = D.
Agora igualamos coeficientes de termos polinomiais (ou usamos as relações restantes). Expandindo os termos em n e comparando coeficientes resulta em um sistema que leva a A=0 e C=0. Com isso encontramos a decomposição simples:
Agora observe que \ln(n+1)\to\infty quando n\to\infty. Em particular o termo geral -\ln(n+1) não tende a zero: tende a -\infty. Pelo teste necessário (os termos têm de tender a zero), a série diverge imediatamente — na verdade os termos crescem em magnitude sem ir a zero, então as somas parciais divergem para -\infty. Conclusão: diverge (para -\infty).
Então a série é \dfrac{1}{6}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}. A série \sum 1/n diverge (harmônica), logo multiplicada por constante também diverge. Conclusão: diverge.
Como o limite (ou limsup) da n-ésima raiz é 0<1, o teste da raiz garante que \sum |a_{n}| converge, portanto a série converge absolutamente e, em consequência, converge.
Intuição: para n grande, \dfrac{8}{n}<1 e elevado a n isso cai extremamente rápido para zero.