Cite três tipos de sistemas dinâmicos. Identifique em cada um deles suas entradas e saídas.
Passo 1
O enunciado pede que eu cite três tipos de sistemas dinâmicos e, para cada um, identifique suas entradas e saídas.
Informações fornecidas: nenhuma figura nem equação específica — só a solicitação geral.
O que vou entregar: três tipos distintos de sistemas dinâmicos, cada um com uma descrição, um modelo matemático simples e a identificação clara das entradas e das saídas.
Informações fornecidas: nenhuma figura nem equação específica — só a solicitação geral.
O que vou entregar: três tipos distintos de sistemas dinâmicos, cada um com uma descrição, um modelo matemático simples e a identificação clara das entradas e das saídas.
Passo 2
Antes de começar a listar tipos, vamos entender o que são “entradas” e “saídas” de um sistema dinâmico, de forma bem prática.
Uma definição operativa: um sistema dinâmico é algo que tem estado interno que muda com o tempo; as entradas são sinais ou forçamentos externos que influenciam essa evolução; as saídas são as quantidades que medimos ou que interessam como resultado do comportamento do sistema.
Para formalizar, a forma geral em espaço de estados é
Uma definição operativa: um sistema dinâmico é algo que tem estado interno que muda com o tempo; as entradas são sinais ou forçamentos externos que influenciam essa evolução; as saídas são as quantidades que medimos ou que interessam como resultado do comportamento do sistema.
Para formalizar, a forma geral em espaço de estados é
onde:
-
é o vetor de estado (variáveis internas que evoluem no tempo); -
é o vetor de entrada (o que eu posso controlar ou o que perturba o sistema); -
é o vetor de saída (o que eu observo/mede).
Sempre que você recebe uma equação de sistema, para achar entradas e saídas basta identificar quais variáveis aparecem como forçamentos externos () e quais aparecem como variáveis observadas ( ).
Passo 3
Vou explicar também a diferença prática entre tipos de entradas:
- Entrada de controle (ou comando): sinal que eu escolho para dirigir o sistema, geralmente denotado por
. - Distúrbio / ruído: sinal externo não controlado que também afeta o sistema (por exemplo
ou ). - Saída de medição: o que o sensor fornece; pode ser o estado direto ou uma função do estado.
Passo 4
Descrição e motivo de escolha: sistemas LTI aparecem muito em provas de engenharia porque são simples e analiticamente tratáveis.
Modelo padrão em espaço de estados:
Modelo padrão em espaço de estados:
onde:
-
é a matriz de dinâmica (como o estado influencia seu próprio crescimento); -
liga a entrada ao estado; -
define como o estado vira saída; -
é o ganho direto da entrada para a saída.
Identificação de entradas e saídas: - Entrada:
(por exemplo, tensão aplicada a um circuito). - Saída:
(por exemplo, tensão no capacitor que eu meço).
Exemplo concreto e simples (retirado de um circuito RC de 1a ordem): escrevemos o estado como a tensão no capacitor. A equação é
e a saída pode ser
. Aqui:
- Entrada:
= tensão de fonte aplicada; - Saída:
= tensão do capacitor medida.
Por que isso é útil na prova: ao ver uma equação linear do tipo acima, já sei queé entrada e é saída — basta mapear termos.
Passo 5
Descrição: muitos sistemas reais (pêndulo, reatores químicos, robôs) são não lineares; as equações envolvem funções não-lineares do estado e/ou da entrada.
Modelo geral:
Modelo geral:
onde
e
são funções não lineares.
Exemplo clássico: pêndulo com torque de controle. Em segunda ordem:
Exemplo clássico: pêndulo com torque de controle. Em segunda ordem:
definindo estado
dá o sistema em primeira ordem
Identificação de entradas e saídas:
- Entrada:
(torque ou esforço de controle aplicado ao pêndulo). - Saída típica:
(ângulo medido) ou qualquer função escolhida.
Observações didáticas: em não lineares é importante checar seaparece na equação — se aparece, é entrada; a saída pode ser função não linear do estado. Em prova, muitas vezes pedem linearização; mas aqui o pedido foi só identificar entradas/saídas.
Passo 6
Descrição: modelos com ruído representam incertezas e sensores ruidosos; aparecem muito em filtragem e controle ótimo. É comum modelar ruído como entradas adicionais.
Modelo discreto linear com ruído (exemplo padrão):
Modelo discreto linear com ruído (exemplo padrão):
onde:
-
é o ruído de processo (perturbação), variável aleatória que perturba a evolução do estado; -
é o ruído de medição (ruído do sensor).
Identificação de entradas e saídas: - Entradas controláveis:
(sinal de controle); - Entradas não controláveis (distúrbios):
e — são tratadas como entradas estocásticas; - Saída:
(o sinal medido pelo sensor, que contém o efeito do estado e do ruído de medição).
Exemplo simples: modelo AR(1) com ruído
Aqui a única entrada controlável pode ser ausente (
não existe); as “entradas” relevantes para identificação são os ruídos
e
, e a saída é
.
Passo 7
Dicas práticas para a prova (pequeno checklist para identificar entradas/saídas):
- Olhe a equação: a variável que aparece como forçamento externo (sem derivada de ordem superior dependendo só do estado) costuma ser a entrada
. - Se houver termos chamados explícitos de ruído ou distúrbio (
, ), trate-os como entradas não controláveis. - A variável que o enunciado pede para “medir” ou que aparece à direita sem derivada é normalmente a saída
. - Se o enunciado é físico (motor, circuito, pêndulo), pense: o que eu escolho (entrada controlável) e o que eu observo (saída medida)? Responda com essas duas palavras e, se for o caso, escreva o modelo para ficar explícito.
Resposta
Sistema linear tempo-invariante contínuo (LTI): entrada
(por exemplo tensão aplicada) — saída
(por exemplo tensão medida no capacitor).
Sistema não linear (ex.: pêndulo controlado): entrada (torque aplicado) — saída
(ângulo
ou função do estado).
Sistema estocástico / com ruído (discreto): entradas (controle, se houver) e ruídos
(distúrbio e ruído de medição) — saída
(medição que depende do estado e do ruído).
Sistema não linear (ex.: pêndulo controlado): entrada
Sistema estocástico / com ruído (discreto): entradas