Questão 2. Dada a equação diferencial ordinária de segunda ordem
\left(D^{2}-2 D+2\right)(y)=0
(a) ( 2.0 pontos.) Apresente uma solução geral dessa EDO de 2^{\mathrm{a}} ordem;
(b) (1.0 ponto.) Apresente um conjunto L com 4 soluções particulares, distitntas. Justifique sua resposta!
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:
A equação diferencial dada é \left(D^{2}-2 D+2\right)(y)=0.
Pergunta (a): Apresentar uma solução geral dessa EDO de 2^{\mathrm{a}} ordem.
Pergunta (b): Apresentar um conjunto L com 4 soluções particulares, distintas, e justificar por que cada função em L é solução e por que são distintas.
Informação implícita importante: estamos procurando soluções reais da EDO linear homogênea com coeficientes constantes.
Passo 2
Método inicial (tentativa de solução por funções exponenciais) — explicação didática do porquê:
Em EDOs lineares com coeficientes constantes é comum tentar uma solução da forma \displaystyle y=e^{r x}. A razão é que derivar e^{r x} apenas multiplica por r, então a equação diferencial reduz-se a uma equação algébrica para r (chamada equação característica).
Substituindo y=e^{r x} em \left(D^{2}-2 D+2\right)(y)=0 obtemos a equação característica
r^{2}-2r+2=0.
Aqui r é a incógnita (número complexo em geral) que surge ao substituir e^{r x}.
Passo 3
Resolvendo a equação característica — passo a passo:
Calcule as raízes de \displaystyle r^{2}-2r+2=0 usando a fórmula quadrática:
r=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}=1\pm i.
As raízes são complexas conjuntas: \displaystyle r_{1}=1+i e \displaystyle r_{2}=1-i.
Passo 4
Como obter solução real a partir de raízes complexas — explicação didática:
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta (aqui \alpha=1, \beta=1), as soluções complexas correspondentes são e^{(\alpha+i\beta)x} e e^{(\alpha-i\beta)x}.
Pela fórmula de Euler e^{i\beta x}=\cos(\beta x)+i\sin(\beta x), podemos separar partes real e imaginária. Isso gera duas soluções reais independentes:
Para o nosso caso \alpha=1 e \beta=1, as duas soluções reais fundamentais são e^{x}\cos x e e^{x}\sin x.
Passo 5
Escrevendo a solução geral e justificando por que é a solução geral:
Como a EDO é linear homogênea de segunda ordem, o espaço de soluções reais tem dimensão 2. Duas soluções linearmente independentes geram todas as soluções por combinação linear.
Assim a solução geral é
y(x)=e^{x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.
Breve verificação (didática) que as funções fundamentais satisfazem a EDO (mostro para ambas):
Para y_{1}(x)=e^{x}\cos x:y_{1}'=e^{x}(\cos x-\sin x),\qquad y_{1}''=e^{x}(-2\sin x).Então(D^{2}-2D+2)(y_{1})=y_{1}''-2y_{1}'+2y_{1}=e^{x}\big(-2\sin x -2(\cos x-\sin x)+2\cos x\big)=0.
Para y_{2}(x)=e^{x}\sin x:y_{2}'=e^{x}(\sin x+\cos x),\qquad y_{2}''=e^{x}(2\cos x),e(D^{2}-2D+2)(y_{2})=e^{x}\big(2\cos x -2(\sin x+\cos x)+2\sin x\big)=0.
Assim ambas satisfazem a EDO; por independência linear (ver passo seguinte) geram a solução geral acima.
Passo 6
Independência linear das soluções fundamentais — pequena aula:
Para garantir que a combinação \displaystyle y=e^{x}(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x) representa todas as soluções, precisamos que e^{x}\cos x e e^{x}\sin x sejam linearmente independentes.
Podemos calcular o Wronskiano W para as duas funções:
para todo x. Portanto as duas funções são linearmente independentes em toda a reta, confirmando que formam uma base do espaço solução.]
Passo 7
Construindo 4 soluções particulares distintas e justificando (resposta da parte b):
Qualquer escolha específica de C_{1},C_{2} dá uma solução particular. Assim podemos escolher quatro pares distintos (C_{1},C_{2}) e obter quatro soluções distintas.
Justificativa de que são soluções: cada elemento de L é uma combinação linear das soluções fundamentais e^{x}\cos x e e^{x}\sin x, por exemplo e^{x}(\cos x+\sin x)=1\cdot e^{x}\cos x + 1\cdot e^{x}\sin x. Como o espaço de soluções é fechado por soma e multiplicação por escalar (linearidade), toda combinação linear de soluções é solução.
Justificativa de que são distintas: as quatro funções correspondem aos vetores de coeficientes (1,0), (0,1), (1,1) e (2,-1) na base \{e^{x}\cos x,\,e^{x}\sin x\}. Como essa base é linearmente independente (Wronskiano não nulo), coeficientes distintos geram funções distintas; portanto as quatro funções são diferentes entre si.
Resposta
(a) \displaystyle y(x)=e^{x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big), com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.