Fazer o gráfico da região limitada pelas curvas e calcular sua área.
е
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) fazer o gráfico da região limitada pelas curvas e (2) calcular a área dessa região. As curvas fornecidas são:
e
Nenhuma outra informação foi dada.
Passo 2
Escolha do método: vou usar integração em
(fatias verticais). Justificativa simples e prática: ambas as curvas podem ser escritas como
de forma direta — isso torna fácil identificar qual curva está acima da outra para cada
e obter os limites de integração a partir das interseções. Outra alternativa seria integrar em
, mas aqui integrar em
é mais direto e rápido.
Passo 3
Encontremos os pontos de interseção das duas curvas, igualando as duas expressões para
:
Subtraindo
de ambos os lados e simplificando, obtemos
Fatorando,
logo
Agora obtemos os correspondentes
:
para ,
(ou pela outra curva
), ponto
;
para ,
(ou
), ponto
.
para
para
Passo 4
Determinar qual curva está acima entre
e
. Escrevemos as duas funções em forma de
:
reta: ,
parábola: .
Calcule a diferença
reta:
parábola:
Calcule a diferença
Para
temos
e
, então
. Portanto
em
: a parábola
fica acima da reta
nesse intervalo. Isso confirma que, ao integrar em
de
a
, devemos subtrair a reta da parábola.
Passo 5
Fórmula que usamos (aula rápida): se duas funções contínuas
e
satisfazem
em
, a área da região limitada entre elas é
Aqui
(função superior),
(função inferior), e
,
. O integrando é a diferença entre as ordens das funções em
.
Passo 6
Montamos e calculamos a integral:
Calculemos primitiva por partes simples:
a primitiva de é
e a primitiva de
é
. Assim
a primitiva de
Reduzindo a fração:
Passo 7
Como fazer o esboço do gráfico (passo a passo para a prova): desenhe os eixos
e
. Marque os pontos de interseção
e
. Desenhe a reta
que passa por
e por
(declive
). Desenhe a parábola
, vértice em
e abrindo para baixo; ela passa por
e por
. A região limitada é a “fajinha” entre a parábola (em cima) e a reta (em baixo), entre
e
— sombreie essa área.
Resposta
Gráfico: região entre
(acima) e
(abaixo), limitada pelos pontos de interseção
e
.
Área =
Área =