Fazer o gráfico da região limitada pelas curvas e calcular sua área.
x+y=3 е y+x^{2}=3

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) fazer o gráfico da região limitada pelas curvas e (2) calcular a área dessa região. As curvas fornecidas são:
x+y=3
e
y+x^{2}=3.
Nenhuma outra informação foi dada.

Passo 2

Escolha do método: vou usar integração em x (fatias verticais). Justificativa simples e prática: ambas as curvas podem ser escritas como y=f(x) de forma direta — isso torna fácil identificar qual curva está acima da outra para cada x e obter os limites de integração a partir das interseções. Outra alternativa seria integrar em y, mas aqui integrar em x é mais direto e rápido.

Passo 3

Encontremos os pontos de interseção das duas curvas, igualando as duas expressões para y:
3 - x = 3 - x^{2}.
Subtraindo 3 de ambos os lados e simplificando, obtemos
-x = -x^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x=0.
Fatorando,
x(x-1)=0,
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x=0\quad\text{ou}\quad x=1.
Agora obtemos os correspondentes y:
para x=0, y=3-0=3 (ou pela outra curva y=3-0^{2}=3), ponto (0,3);
para x=1, y=3-1=2 (ou 3-1^{2}=2), ponto (1,2).

Passo 4

Determinar qual curva está acima entre x=0 e x=1. Escrevemos as duas funções em forma de y:
reta: y_{\text{reta}}=3-x,
parábola: y_{\text{par}}=3-x^{2}.
Calcule a diferença
y_{\text{par}}-y_{\text{reta}}=(3-x^{2})-(3-x)=x-x^{2}=x(1-x).
Para x\in[0,1] temos x\ge0 e 1-x\ge0, então x(1-x)\ge0. Portanto y_{\text{par}}\ge y_{\text{reta}} em [0,1]: a parábola y=3-x^{2} fica acima da reta y=3-x nesse intervalo. Isso confirma que, ao integrar em x de 0 a 1, devemos subtrair a reta da parábola.

Passo 5

Fórmula que usamos (aula rápida): se duas funções contínuas f(x) e g(x) satisfazem f(x)\ge g(x) em [a,b], a área da região limitada entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui f(x)=3-x^{2} (função superior), g(x)=3-x (função inferior), e a=0, b=1. O integrando é a diferença entre as ordens das funções em y.

Passo 6

Montamos e calculamos a integral:
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl((3-x^{2})-(3-x)\bigr)\,dx=\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{2}\bigr)\,dx.Á
Calculemos primitiva por partes simples:
a primitiva de x é \tfrac{1}{2}x^{2} e a primitiva de x^{2} é \tfrac{1}{3}x^{3}. Assim
\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{2}\bigr)\,dx=\left[\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1} =\left(\tfrac{1}{2}\cdot1^{2}-\tfrac{1}{3}\cdot1^{3}\right)-0 =\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}.
Reduzindo a fração:
\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{3-2}{6}=\tfrac{1}{6}.

Passo 7

Como fazer o esboço do gráfico (passo a passo para a prova): desenhe os eixos x e y. Marque os pontos de interseção (0,3) e (1,2). Desenhe a reta x+y=3 que passa por (0,3) e por (3,0) (declive -1). Desenhe a parábola y=3-x^{2}, vértice em (0,3) e abrindo para baixo; ela passa por (1,2) e por (-1,2). A região limitada é a “fajinha” entre a parábola (em cima) e a reta (em baixo), entre x=0 e x=1 — sombreie essa área.

Resposta

Gráfico: região entre y=3-x^{2} (acima) e y=3-x (abaixo), limitada pelos pontos de interseção (0,3) e (1,2).
Área = \tfrac{1}{6}

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