Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 gostam de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e História é:
A) exatamente 16
B) exatamente 10
C) no máximo 6
D) no mínimo 6
E) exatamente 18
A) exatamente 16
B) exatamente 10
C) no máximo 6
D) no mínimo 6
E) exatamente 18
Passo 1
Então, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma turma com 30 alunos, dos quais 16 gostam de Matemática e 20 gostam de História. A pergunta é: quantos alunos gostam das duas matérias ao mesmo tempo? Para resolver isso, vamos usar conceitos de conjuntos e probabilidade, especificamente o princípio da inclusão-exclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que representa cada número:
- Total de alunos: 30
- Alunos que gostam de Matemática: 16
- Alunos que gostam de História: 20
Queremos descobrir quantos alunos gostam das duas matérias, ou seja, a interseção dos dois grupos.
Passo 3
O princípio da inclusão-exclusão nos ajuda a calcular a interseção de dois conjuntos. A fórmula é:
Onde:
-
é o total de alunos que gostam de pelo menos uma das matérias. -
é o número de alunos que gostam de Matemática. -
é o número de alunos que gostam de História. -
é o número de alunos que gostam das duas matérias.
Passo 4
Sabemos que o total de alunos que gostam de pelo menos uma das matérias não pode exceder o total de alunos na turma, que é 30. Assim, temos:
Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
:
Subtraindo 36 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando de inverter a desigualdade):
Resposta
Portanto, o número de alunos que gostam tanto de Matemática quanto de História é no mínimo 6. A alternativa correta é a D) no mínimo 6.