Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 gostam de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e História é:
A) exatamente 16
B) exatamente 10
C) no máximo 6
D) no mínimo 6
E) exatamente 18

Passo 1

Então, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma turma com 30 alunos, dos quais 16 gostam de Matemática e 20 gostam de História. A pergunta é: quantos alunos gostam das duas matérias ao mesmo tempo? Para resolver isso, vamos usar conceitos de conjuntos e probabilidade, especificamente o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que representa cada número:
  • Total de alunos: 30
  • Alunos que gostam de Matemática: 16
  • Alunos que gostam de História: 20
Queremos descobrir quantos alunos gostam das duas matérias, ou seja, a interseção dos dois grupos.

Passo 3

O princípio da inclusão-exclusão nos ajuda a calcular a interseção de dois conjuntos. A fórmula é:
|M cup H| = |M| + |H| - |M cap H|
Onde:
  • |M cup H| é o total de alunos que gostam de pelo menos uma das matérias.
  • |M| é o número de alunos que gostam de Matemática.
  • |H| é o número de alunos que gostam de História.
  • |M cap H| é o número de alunos que gostam das duas matérias.

Passo 4

Sabemos que o total de alunos que gostam de pelo menos uma das matérias não pode exceder o total de alunos na turma, que é 30. Assim, temos:
|M cup H| <= 30
Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
16 + 20 - |M cap H| <= 30

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar |M cap H|:
36 - |M cap H| <= 30
Subtraindo 36 de ambos os lados:
-|M cap H| <= -6
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando de inverter a desigualdade):
|M cap H| >= 6

Resposta

Portanto, o número de alunos que gostam tanto de Matemática quanto de História é no mínimo 6. A alternativa correta é a D) no mínimo 6.

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