Um teste de múltipla escolha é composto de 12 questões, com cinco alternativas de resposta, sendo que somente uma é correta. Calcule a probabilidade de uma pessoa, marcando aleatoriamente as 12 questões, consiga acertar a metade das respostas.
a) 50%
b) 15,50%
c) 25,50%
d) 5,02%
e) 1,55%

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um teste de múltipla escolha com 12 questões, cada uma com 5 alternativas, e só uma está certa. Queremos saber qual a chance de alguém, marcando aleatoriamente, acertar exatamente metade das respostas, ou seja, 6 questões. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que ajuda a calcular a chance de ter certo um número específico de sucessos em várias tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as probabilidades básicas. Cada questão tem 5 alternativas, então a chance de acertar uma questão ao acaso é de p = 15 = 0,2. Já a chance de errar uma questão é 1 - p = 0,8.

Passo 3

A probabilidade de acertar exatamente 6 questões em 12 pode ser calculada usando a fórmula da distribuição binomial:
P(k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • n = 12 é o número total de questões.
  • k = 6 é o número de acertos que queremos.
  • p = 0,2 é a probabilidade de acertar uma questão.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial binom126, que representa o número de maneiras de escolher 6 acertos nas 12 questões:
binom126 = 12!6! cdot (12 - 6)! = 924

Passo 5

Agora, calculamos p^k = 0,2^6:
0,2^6 = 0,000064

Passo 6

Em seguida, calculamos (1 - p)^n - k = 0,8^6:
0,8^6 approx 0,262144

Passo 7

Finalmente, multiplicamos todos esses valores para encontrar a probabilidade:
P(6) = 924 times 0,000064 times 0,262144 approx 0,0155
Convertendo para porcentagem, temos aproximadamente 1,55%.

Resposta

A probabilidade de acertar exatamente metade das 12 questões é de aproximadamente 1,55%. A alternativa correta é a letra e) 1,55%.

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