Classificar cada EDO abaixo quanto a linearidade (linear ou não-linear) e quanto a ordem, e verificar se a função dada é solução.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
E a função proposta para verificar se é solução:
Vamos precisar saber como classificar uma EDO quanto à linearidade e ordem, além de saber como verificar se uma função é solução da EDO.
Passo 2
Classificando a Linearidade da EDO
Uma EDO é linear se ela pode ser escrita na forma:
onde os coeficientes $ a_i(t) $ são funções de $ t $ e $ g(t) $ é uma função conhecida. Não deve haver termos como $ y^2 $, $ (y’)^3 $, etc.
Na nossa EDO:
Podemos ver que cada termo é linear em relação a $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $, sem produtos ou potências de $ y $ e suas derivadas. Portanto, a EDO é linear.
Passo 3
Determinação da Ordem da EDO
A ordem de uma EDO é determinada pela maior derivada presente na equação. Na nossa EDO, a derivada de segunda ordem $ y’’ $ é a maior derivada presente. Assim, a EDO é de segunda ordem.
Passo 4
Verificando se $ y(t) = t + 1 $ é uma Solução
Para verificar se $ y(t) = t + 1 $ é uma solução, precisamos substituir $ y(t) $, $ y’(t) $ e $ y’’(t) $ na EDO e ver se a igualdade é satisfeita.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos na EDO:
A igualdade não é satisfeita, ou seja, $ -2 = 0 $ é falsa.
Resposta
A EDO é linear, de segunda ordem, e a função $ y(t) = t + 1 $ não é uma solução da EDO.