Classificar cada EDO abaixo quanto a linearidade (linear ou não-linear) e quanto a ordem, e verificar se a função dada é solução.
t y^prime prime+(t-1) y^prime-y=0, y(t)=t+1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
t y'' + (t-1) y' - y = 0
E a função proposta para verificar se é solução:
y(t) = t + 1
Vamos precisar saber como classificar uma EDO quanto à linearidade e ordem, além de saber como verificar se uma função é solução da EDO.

Passo 2

Classificando a Linearidade da EDO
Uma EDO é linear se ela pode ser escrita na forma:
an(t) y^(n) + an-1(t) y^(n-1) + dots + a1(t) y' + a0(t) y = g(t)
onde os coeficientes $ a_i(t) $ são funções de $ t $ e $ g(t) $ é uma função conhecida. Não deve haver termos como $ y^2 $, $ (y’)^3 $, etc.
Na nossa EDO:
ai(t)
Podemos ver que cada termo é linear em relação a $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $, sem produtos ou potências de $ y $ e suas derivadas. Portanto, a EDO é linear.

Passo 3

Determinação da Ordem da EDO
A ordem de uma EDO é determinada pela maior derivada presente na equação. Na nossa EDO, a derivada de segunda ordem $ y’’ $ é a maior derivada presente. Assim, a EDO é de segunda ordem.

Passo 4

Verificando se $ y(t) = t + 1 $ é uma Solução
Para verificar se $ y(t) = t + 1 $ é uma solução, precisamos substituir $ y(t) $, $ y’(t) $ e $ y’’(t) $ na EDO e ver se a igualdade é satisfeita.
Primeiro, calculamos as derivadas:
y(t) = t + 1
Agora, substituímos na EDO:
y(t) = t + 1
A igualdade não é satisfeita, ou seja, $ -2 = 0 $ é falsa.

Resposta

A EDO é linear, de segunda ordem, e a função $ y(t) = t + 1 $ não é uma solução da EDO.

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