Seja
uma função contínua em
e derivável em
. Suponha que
e
para todo
. Mostre que
para todo
. Interprete geometricamente.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
, contínua em
e derivável em
, com
e
para todo
. Vamos usar duas ideias principais: derivada positiva implica crescimento estrito e o Teorema do Valor Médio (TVM).
Passo 2
Como
em
, concluímos que
é estritamente crescente. Assim, para todo
vale
, o que prova a parte
.
Passo 3
Para mostrar
, aplicamos o Teorema do Valor Médio no intervalo
. O TVM garante algum
tal que
Como
e
, temos
e portanto
.
Passo 4
Geometricamente, isso diz que o gráfico de
para
fica acima do eixo
(pois
) e abaixo da reta identidade
. Além disso, como a inclinação das tangentes é sempre
, o crescimento de
nunca supera o da reta
.
Resposta
Para todo x>0: 0<f(x)\le x.