Seja f:[0,+infty[ R uma função contínua em [0,+infty[ e derivável em ] 0,+infty[. Suponha que f(0)=0 e 0 para todo x>0. Mostre que 0 para todo x>0. Interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f:[0,+infty[toR, contínua em [0,+infty[ e derivável em (0,+infty), com f(0)=0 e 0 para todo x>0. Vamos usar duas ideias principais: derivada positiva implica crescimento estrito e o Teorema do Valor Médio (TVM).

Passo 2

Como f'(x)>0 em (0,infty), concluímos que f é estritamente crescente. Assim, para todo x>0 vale f(x)>f(0)=0, o que prova a parte 0.

Passo 3

Para mostrar f(x)<= x, aplicamos o Teorema do Valor Médio no intervalo [0,x]. O TVM garante algum cin(0,x) tal que
f(x)-f(0)x-0=f'(c)
Como f(0)=0 e f'(c)<=1, temos
f(x)x<=1
e portanto f(x)<= x.

Passo 4

Geometricamente, isso diz que o gráfico de f para x>0 fica acima do eixo x (pois f(x)>0) e abaixo da reta identidade y=x. Além disso, como a inclinação das tangentes é sempre <=1, o crescimento de f nunca supera o da reta y=x.

Resposta

Para todo x>0: 0<f(x)\le x.

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