Mostre que a EDO 2 y^2+2 yx+(2 x y+2+yx) y^prime=0 não é exata mas mu(x)=x é um fator integrante. Além disso, determine sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) pra resolver:
2 y^2 + 2 yx + (2 x y + 2 + yx) y^prime = 0
O exercício pede pra mostrar que essa EDO não é exata, mas que multiplicando por um fator integrante mu(x) = x ela vira exata. Depois, precisamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de EDOs exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação é exata. Uma EDO tem a forma geral:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
Então, vamos reescrever a nossa equação nesse formato. Observando a EDO dada:
2 y^2 + 2 yx + (2 x y + 2 + yx) y^prime = 0
Podemos identificar:
M(x, y) = 2 y^2 + 2 yx
N(x, y) = 2 x y + 2 + yx
Agora, para a equação ser exata, precisa valer que:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando partial Mpartial y:
M(x, y) = 2 y^2 + 2 yx
Derivando em relação a y:
partial Mpartial y = 4 y + 2x
Agora, calculando partial Npartial x:
N(x, y) = 2 x y + 2 + yx
Derivando em relação a x:
partial Npartial x = 2 y - yx^2
Comparando as duas derivadas:
4 y + 2x vs 2 y - yx^2
Eles não são iguais, ou seja:
partial Mpartial y neq partial Npartial x
Então, a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, vamos procurar um fator integrante que a torne exata. O enunciado já nos dá que mu(x) = x é esse fator. Vamos multiplicar toda a equação por mu(x):
x cdot [2 y^2 + 2 yx] , dx + x cdot (2 x y + 2 + yx) , dy = 0
Simplificando:
2 x y^2 + 2 y , dx + (2 x^2 y + 2 x + y) , dy = 0
Agora, temos:
M'(x, y) = 2 x y^2 + 2 y
N'(x, y) = 2 x^2 y + 2 x + y
Vamos verificar novamente a condição de exatidão com esses novos M' e N'.

Passo 5

Calculando partial M'partial y:
M'(x, y) = 2 x y^2 + 2 y
Derivando em relação a y:
partial M'partial y = 4 x y + 2
Agora, calculando partial N'partial x:
N'(x, y) = 2 x^2 y + 2 x + y
Derivando em relação a x:
partial N'partial x = 4 x y + 2
Comparando as duas derivadas:
4 x y + 2 = 4 x y + 2
Agora, elas são iguais! Então, após multiplicar por mu(x) = x, a equação se torna exata.

Passo 6

Com a equação agora exata, podemos encontrar uma função potencial Psi(x, y) tal que:
partial Psipartial x = M'(x, y) = 2 x y^2 + 2 y
Vamos integrar M' em relação a x:
Psi(x, y) = integral (2 x y^2 + 2 y) , dx = x^2 y^2 + 2 y x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende só de y. Agora, derivamos Psi em relação a y e igualamos a N':
partial Psipartial y = 2 x^2 y + 2 x + h'(y) = N'(x, y) = 2 x^2 y + 2 x + y
Comparando os termos:
2 x^2 y + 2 x + h'(y) = 2 x^2 y + 2 x + y
Podemos ver que h'(y) = y, então integrando:
h(y) = y^22 + C
Portanto, a função potencial completa é:
Psi(x, y) = x^2 y^2 + 2 y x + y^22 = C

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
x^2 y^2 + 2 x y + y^22 = C

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