Mostre que a EDO
não é exata mas
é um fator integrante. Além disso, determine sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) pra resolver:
O exercício pede pra mostrar que essa EDO não é exata, mas que multiplicando por um fator integrante
ela vira exata. Depois, precisamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de EDOs exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a equação é exata. Uma EDO tem a forma geral:
Então, vamos reescrever a nossa equação nesse formato. Observando a EDO dada:
Podemos identificar:
Agora, para a equação ser exata, precisa valer que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Agora, calculando
:
Derivando em relação a
:
Comparando as duas derivadas:
Eles não são iguais, ou seja:
Então, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, vamos procurar um fator integrante que a torne exata. O enunciado já nos dá que
é esse fator. Vamos multiplicar toda a equação por
:
Simplificando:
Agora, temos:
Vamos verificar novamente a condição de exatidão com esses novos
e
.
Passo 5
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Agora, calculando
:
Derivando em relação a
:
Comparando as duas derivadas:
Agora, elas são iguais! Então, após multiplicar por
, a equação se torna exata.
Passo 6
Com a equação agora exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
. Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos:
Podemos ver que
, então integrando:
Portanto, a função potencial completa é:
Resposta
A solução geral da EDO é dada por: