Classificar cada equação abaixo indicando a ordem e se é linear ou não linear.
(A.)
(A.)
Passo 1
O enunciado pede: “Classificar cada equação abaixo indicando a ordem e se é linear ou não linear.”
A equação dada é:
A equação dada é:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A variável independente é
(as derivadas são e ). - A equação envolve as derivadas
e do desconhecido . - O termo do lado direito é
, função apenas de .
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
- A ordem é o maior número de derivada que aparece na equação.
Exemplo simples: na equaçãoa maior derivada é , então a ordem é .
Detalhe importante: apenas olhamos as derivadas do desconhecidoque aparecem explicitamente, não derivadas ocultas.
Passo 3
Identificar a ordem nesta equação.
Na equação
Na equação
as derivadas presentes são
(derivada primeira) e
(derivada segunda). A maior delas é
. Portanto a ordem é
(segunda ordem).
Passo 4
O que significa “linear” versus “não linear” aqui? Regra prática e forma padrão:
- Uma equação diferencial de ordem
é linear se puder ser escrita como
onde
são funções apenas da variável independente
.
- Em palavras:
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, sem produtos entre e ou potências como , nem funções não-lineares de como , , etc.).
Exemplos: - Linear:
. - Não linear:
(aqui há produto e quadrado de , que são não lineares).
Passo 5
Verificar se a equação dada tem a forma linear padrão. Reescrevendo e identificando coeficientes:
pode ser vista como
com
Observações importantes: os coeficientes
dependem apenas de
; não aparecem termos como
,
,
,
etc. Ou seja,
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear e multiplicadas por funções de
apenas.
Resposta
(A.) Ordem:
. Linear (equação diferencial ordinária linear de coeficientes que dependem de
).