Classificar cada equação abaixo indicando a ordem e se é linear ou não linear.
(A.) x^{5} y_{x x}+x y_{x}=\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede: “Classificar cada equação abaixo indicando a ordem e se é linear ou não linear.”
A equação dada é:
x^{5} y_{xx} + x y_{x} = \sin x.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A variável independente é x (as derivadas são y_x e y_{xx}).
  • A equação envolve as derivadas y_x e y_{xx} do desconhecido y.
  • O termo do lado direito é \sin x, função apenas de x.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
  • A ordem é o maior número de derivada que aparece na equação.
    Exemplo simples: na equação \,y'' + 3y' - y = 0\, a maior derivada é y'', então a ordem é 2.
    Detalhe importante: apenas olhamos as derivadas do desconhecido y que aparecem explicitamente, não derivadas ocultas.

Passo 3

Identificar a ordem nesta equação.
Na equação
x^{5} y_{xx} + x y_{x} = \sin x
as derivadas presentes são y_x (derivada primeira) e y_{xx} (derivada segunda). A maior delas é y_{xx}. Portanto a ordem é 2 (segunda ordem).

Passo 4

O que significa “linear” versus “não linear” aqui? Regra prática e forma padrão:
  • Uma equação diferencial de ordem 2 é linear se puder ser escrita como
a_2(x)\,y'' + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde a_2(x),a_1(x),a_0(x),g(x) são funções apenas da variável independente x.
  • Em palavras: y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, sem produtos entre y e y' ou potências como y^2, nem funções não-lineares de y como \sin y, e^{y}, etc.).
    Exemplos:
  • Linear: x^2 y'' + \cos x\, y' + 5y = \sin x.
  • Não linear: y y'' + (y')^2 = x (aqui há produto y\,y'' e quadrado de y', que são não lineares).

Passo 5

Verificar se a equação dada tem a forma linear padrão. Reescrevendo e identificando coeficientes:
x^{5} y_{xx} + x y_{x} = \sin x
pode ser vista como
a_2(x)\,y'' + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x)
com
a_2(x)=x^{5},\qquad a_1(x)=x,\qquad a_0(x)=0,\qquad g(x)=\sin x.
Observações importantes: os coeficientes a_2,a_1,a_0 dependem apenas de x; não aparecem termos como y^2, y\,y', (y')^2, \sin y etc. Ou seja, y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear e multiplicadas por funções de x apenas.

Resposta

(A.) Ordem: 2. Linear (equação diferencial ordinária linear de coeficientes que dependem de x).

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