Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial
13. Dado que x, x^{2} e 1 / x são soluções da equação homogênea associada a
x^{3} y^{\prime \prime \prime}+x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=2 x^{4}, \quad x>0,
determine uma solução particular.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação
x^{3}y^{\prime\prime\prime}+x^{2}y^{\prime\prime}-2x y^{\prime}+2y=2x^{4},\qquad x>0,
sabendo que x,\;x^{2} e 1/x são soluções da equação homogênea associada.
Informações dadas:
  • A equação não homogênea é x^{3}y^{\prime\prime\prime}+x^{2}y^{\prime\prime}-2x y^{\prime}+2y=2x^{4}.
  • Três soluções independentes da homogênea são y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=x^{2} e y_{3}(x)=1/x.
  • Quero uma solução particular y_{p}, expressa por fórmulas que envolvam integrais (variação de parâmetros).

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão y^{\prime\prime\prime}+p_{2}(x)y^{\prime\prime}+p_{1}(x)y^{\prime}+p_{0}(x)y=r(x) dividindo por x^{3}. Assim
y^{\prime\prime\prime}+\frac{1}{x}y^{\prime\prime}-\frac{2}{x^{2}}y^{\prime}+\frac{2}{x^{3}}y=2x.
Logo r(x)=2x. Isso é útil porque a técnica de variação de parâmetros é aplicada à equação na forma padrão.

Passo 3

Vou aplicar variação de parâmetros para ordem 3\). A ideia: procurar uma solução particular na forma \[y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)+u_{3}(x)y_{3}(x),
onde y_{1}=x,\;y_{2}=x^{2},\;y_{3}=1/x são as soluções da homogênea e u_{1},u_{2},u_{3} são funções a determinar. Para fixar essas funções impomos as três condições clássicas (essa escolha simplifica as expressões):
\begin{cases} u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)+u_{3}'(x)y_{3}(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)+u_{3}'(x)y_{3}'(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}''(x)+u_{2}'(x)y_{2}''(x)+u_{3}'(x)y_{3}''(x)=r(x). \end{cases}
Essas três equações lineares permitem resolver u_{1}',u_{2}',u_{3}'\]. Depois integro para obter \(u_{i} e assim y_{p}. Agora faço as contas concretas.]

Passo 4

Calculo derivadas necessárias das funções fundamentais:
\begin{aligned} y_{1}(x)&=x,\quad &y_{1}'(x)&=1,\quad &y_{1}''(x)&=0,\\[4pt] y_{2}(x)&=x^{2},\quad &y_{2}'(x)&=2x,\quad &y_{2}''(x)&=2,\\[4pt] y_{3}(x)&=x^{-1},\quad &y_{3}'(x)&=-x^{-2},\quad &y_{3}''(x)&=2x^{-3}. \end{aligned}]

Passo 5

Escrevo a matriz cujos determinantes aparecem na variação de parâmetros (a matriz de Wronskiana):
W(x)=\det \begin{pmatrix} y_{1} & y_{2} & y_{3}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}' & y_{3}'\\[4pt] y_{1}'' & y_{2}'' & y_{3}'' \end{pmatrix} =\det \begin{pmatrix} x & x^{2} & x^{-1}\\[4pt] 1 & 2x & -x^{-2}\\[4pt] 0 & 2 & 2x^{-3} \end{pmatrix}.
Calculo W(x) desenvolvendo por cofatores (faço uma combinação direta):
W(x)=x\det\begin{pmatrix}2x & -x^{-2}\\[4pt]2 & 2x^{-3}\end{pmatrix} -x^{2}\det\begin{pmatrix}1 & -x^{-2}\\[4pt]0 & 2x^{-3}\end{pmatrix} +x^{-1}\det\begin{pmatrix}1 & 2x\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Agora cada determinante:
\det\begin{pmatrix}2x & -x^{-2}\\[4pt]2 & 2x^{-3}\end{pmatrix}= (2x)(2x^{-3})-(-x^{-2})(2)=\frac{4}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}}=\frac{6}{x^{2}},
\det\begin{pmatrix}1 & -x^{-2}\\[4pt]0 & 2x^{-3}\end{pmatrix}=1\cdot 2x^{-3}-0=\frac{2}{x^{3}},
\det\begin{pmatrix}1 & 2x\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}=1\cdot 2-0=2.
Substituindo,
W(x)=x\cdot\frac{6}{x^{2}}-x^{2}\cdot\frac{2}{x^{3}}+x^{-1}\cdot 2=\frac{6}{x}-\frac{2}{x}+\frac{2}{x}=\frac{6}{x}.]

Passo 6

Agora resolvo o sistema para u_{1}',u_{2}',u_{3}':
\begin{pmatrix} x & x^{2} & x^{-1}\\[4pt] 1 & 2x & -x^{-2}\\[4pt] 0 & 2 & 2x^{-3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{1}'\\[4pt]u_{2}'\\[4pt]u_{3}'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]r(x)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]2x\end{pmatrix}.
Pelo método de Cramer, u_{i}'(x)=\dfrac{W_{i}(x)}{W(x)}, onde W_{i} é o determinante obtido ao substituir a i-ésima coluna por (0,0,2x)^{T}.
Calculo W_{1} (substituindo 1ª coluna):
W_{1}=\det \begin{pmatrix} 0 & x^{2} & x^{-1}\\[4pt] 0 & 2x & -x^{-2}\\[4pt] 2x & 2 & 2x^{-3} \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira coluna (aproveitando os zeros):
W_{1}=(2x)\det\begin{pmatrix}x^{2} & x^{-1}\\[4pt]2x & -x^{-2}\end{pmatrix} =(2x)\big(x^{2}(-x^{-2})-x^{-1}(2x)\big)=(2x)(-1-2)=-6x.
Portanto
u_{1}'(x)=\frac{W_{1}}{W}=\frac{-6x}{6/x}=-x^{2}.
Calculo W_{2} (substituindo 2ª coluna):
W_{2}=\det \begin{pmatrix} x & 0 & x^{-1}\\[4pt] 1 & 0 & -x^{-2}\\[4pt] 0 & 2x & 2x^{-3} \end{pmatrix}.
Expandindo pela segunda coluna (tem zeros nas duas primeiras entradas):
W_{2}=-(2x)\det\begin{pmatrix}x & x^{-1}\\[4pt]1 & -x^{-2}\end{pmatrix} =-2x\big(x(-x^{-2})-x^{-1}\cdot 1\big)=-2x\big(-\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{x}\big)=-2x\big(-\tfrac{2}{x}\big)=4.
Logo
u_{2}'(x)=\frac{W_{2}}{W}=\frac{4}{6/x}=\frac{2}{3}x.
Calculo W_{3} (substituindo 3ª coluna):
W_{3}=\det \begin{pmatrix} x & x^{2} & 0\\[4pt] 1 & 2x & 0\\[4pt] 0 & 2 & 2x \end{pmatrix}.
Expandindo pela terceira coluna (aproveitando zeros nas duas primeiras entradas):
W_{3}=(2x)\det\begin{pmatrix}x & x^{2}\\[4pt]1 & 2x\end{pmatrix} =(2x)\big(x\cdot 2x - x^{2}\cdot 1\big)=(2x)(2x^{2}-x^{2})=(2x)(x^{2})=2x^{3}.
Assim
u_{3}'(x)=\frac{W_{3}}{W}=\frac{2x^{3}}{6/x}=\frac{x^{4}}{3}.]

Passo 7

Integro as expressões para obter u_{i}. Posso escolher constantes de integração iguais a zero (isso dá uma solução particular; constantes levariam a combinações com soluções homogêneas):
u_{1}(x)=\int u_{1}'(x)\,dx=\int -x^{2}\,dx=-\tfrac{1}{3}x^{3},
u_{2}(x)=\int u_{2}'(x)\,dx=\int \tfrac{2}{3}x\,dx=\tfrac{1}{3}x^{2},
u_{3}(x)=\int u_{3}'(x)\,dx=\int \tfrac{1}{3}x^{4}\,dx=\tfrac{1}{15}x^{5}.
(Se preferir, essas integrais podem ser escritas como integrais indefinidas com constantes; também é comum escrever integrais definidas desde um ponto x_{0} até x, mas o procedimento é equivalente.)

Passo 8

Montando y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}+u_{3}y_{3}:
y_{p}(x)=\Big(-\tfrac{1}{3}x^{3}\Big)\cdot x+\Big(\tfrac{1}{3}x^{2}\Big)\cdot x^{2}+\Big(\tfrac{1}{15}x^{5}\Big)\cdot x^{-1}.
Calculando termo a termo:
y_{p}(x)=-\tfrac{1}{3}x^{4}+\tfrac{1}{3}x^{4}+\tfrac{1}{15}x^{4}=\tfrac{1}{15}x^{4}.
Portanto a solução particular obtida (pela variação de parâmetros, expressa por integrais que foram computadas) é y_{p}(x)=\tfrac{1}{15}x^{4}.

Resposta

\displaystyle y_{p}(x)=\frac{1}{15}x^{4}

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