Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial
13. Dado que x, x^{2} e 1 / x são soluções da equação homogênea associada a
Logo r(x)=2x. Isso é útil porque a técnica de variação de parâmetros é aplicada à equação na forma padrão.
Passo 3
Vou aplicar variação de parâmetros para ordem 3\). A ideia: procurar uma solução particular na forma
\[y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)+u_{3}(x)y_{3}(x),
onde y_{1}=x,\;y_{2}=x^{2},\;y_{3}=1/x são as soluções da homogênea e u_{1},u_{2},u_{3} são funções a determinar. Para fixar essas funções impomos as três condições clássicas (essa escolha simplifica as expressões):
Essas três equações lineares permitem resolver u_{1}',u_{2}',u_{3}'\]. Depois integro para obter \(u_{i} e assim y_{p}. Agora faço as contas concretas.]
Passo 4
Calculo derivadas necessárias das funções fundamentais:
Integro as expressões para obter u_{i}. Posso escolher constantes de integração iguais a zero (isso dá uma solução particular; constantes levariam a combinações com soluções homogêneas):
(Se preferir, essas integrais podem ser escritas como integrais indefinidas com constantes; também é comum escrever integrais definidas desde um ponto x_{0} até x, mas o procedimento é equivalente.)