Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial
16.
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=g(t) .
Se g(t)=t^{2} e^{t}, determine Y(t).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Encontrar uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação
y'''-3y''+3y'-y=g(t).
  1. Usando essa fórmula, determinar Y(t) quando g(t)=t^{2}e^{t}.
Informações dadas importantes:
y'''-3y''+3y'-y=g(t).
e o caso particular g(t)=t^{2}e^{t}.

Passo 2

Observe o operador diferencial da equação. Se escrevemos D=\frac{d}{dt}, o polinômio característico é
r^{3}-3r^{2}+3r-1=(r-1)^{3}.
Isso significa que o operador linear no lado esquerdo fatoriza como
(D-1)^{3}y=g(t).
Ou seja, estamos resolvendo (D-1)^{3}y=g(t).

Passo 3

Usamos uma troca muito útil: escrevemos y(t)=e^{t}u(t). Vou mostrar por que isso simplifica: calcule
(D-1)\big(e^{t}u(t)\big)=\frac{d}{dt}\big(e^{t}u(t)\big)-e^{t}u(t)=e^{t}u(t)+e^{t}u'(t)-e^{t}u(t)=e^{t}u'(t).
Aplicando (D-1) três vezes obtemos
(D-1)^{3}\big(e^{t}u(t)\big)=e^{t}u^{(3)}(t).
Portanto a equação (D-1)^{3}y=g(t) reduz-se a
e^{t}u^{(3)}(t)=g(t)\quad\Longrightarrow\quad u^{(3)}(t)=e^{-t}g(t).
Essa substituição é padrão: ela transforma o operador deslocado D-1 em derivação simples sobre u.

Passo 4

Integramos três vezes para obter u. Podemos escrever a solução geral de u^{(3)}(t)=f(t) (com f(t)=e^{-t}g(t)) por integrais iteradas:
u(t)=\int_{a}^{t}\!\int_{a}^{s_{1}}\!\int_{a}^{s_{2}} f(s_{3})\,ds_{3}\,ds_{2}\,ds_{1}+C_{0}+C_{1}t+C_{2}t^{2},
onde a é um ponto de referência e C_{0},C_{1},C_{2} são constantes de integração que correspondem à solução homogênea. Para obter uma solução particular basta escolher C_{0}=C_{1}=C_{2}=0.
Há uma forma compacta da integral tripla (fórmula de Cauchy para integrais iteradas):
\int_{a}^{t}\!\int_{a}^{s_{1}}\!\int_{a}^{s_{2}} f(s_{3})\,ds_{3}\,ds_{2}\,ds_{1}=\frac{1}{2}\int_{a}^{t}(t-s)^{2}f(s)\,ds.
Uma maneira rápida de ver essa igualdade é derivar a expressão da direita três vezes em t: a terceira derivada dá f(t), e as constantes iniciais aparecem quando avaliamos nas derivadas menores — isso é a característica da fórmula de integração repetida.
Voltando à nossa variável y, lembrando y=e^{t}u, tomamos a solução particular (com constantes nulas) e obtemos a fórmula integral para uma solução particular:
\boxed{\,Y_{p}(t)=e^{t}\cdot\frac{1}{2}\int_{a}^{t}(t-s)^{2}e^{-s}g(s)\,ds\,}
onde a é um ponto fixo (por exemplo a=0); diferentes escolhas de a dão soluções particulares que diferem por uma combinação da solução homogênea, então qualquer a serve para produzir uma solução particular.

Passo 5

Agora aplicamos ao caso g(t)=t^{2}e^{t}. Na fórmula temos o fator e^{-s}g(s), que aqui simplifica muito:
e^{-s}g(s)=e^{-s}\cdot s^{2}e^{s}=s^{2}.
Escolhemos a=0 por conveniência e obtemos
Y_{p}(t)=e^{t}\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{t}(t-s)^{2}s^{2}\,ds.
Calculamos a integral passo a passo. Expanda (t-s)^{2}=t^{2}-2ts+s^{2}, então
(t-s)^{2}s^{2}=t^{2}s^{2}-2t s^{3}+s^{4}.
Integramos termo a termo de 0 a t:
\int_{0}^{t}t^{2}s^{2}\,ds=t^{2}\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{t^{5}}{3},
\int_{0}^{t}-2t s^{3}\,ds=-2t\cdot\frac{t^{4}}{4}=-\frac{t^{5}}{2},
\int_{0}^{t}s^{4}\,ds=\frac{t^{5}}{5}.
Somando:
\int_{0}^{t}(t-s)^{2}s^{2}\,ds=\frac{t^{5}}{3}-\frac{t^{5}}{2}+\frac{t^{5}}{5}=t^{5}\Big(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\Big).
Colocando em denominador comum 30 obtemos \frac{10-15+6}{30}=\frac{1}{30}, logo a integral vale \frac{t^{5}}{30}.
Logo
Y_{p}(t)=e^{t}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{5}}{30}=e^{t}\cdot\frac{t^{5}}{60}.

Passo 6

Podemos conferir rapidamente: usando a observação do Passo 3, com y=e^{t}u temos u^{(3)}=t^{2}. Se tomarmos u=\frac{t^{5}}{60} (zero nas constantes de integração), isso satisfaz u^{(3)}=t^{2}, e portanto y=e^{t}\frac{t^{5}}{60} é de fato uma solução particular.

Resposta

\displaystyle Y(t)=\frac{t^{5}}{60}\,e^{t}

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