Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial
16.
Se
, determine
.
16.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação
- Usando essa fórmula, determinar
quando .
Informações dadas importantes:
e o caso particular
.
Passo 2
Observe o operador diferencial da equação. Se escrevemos
, o polinômio característico é
Isso significa que o operador linear no lado esquerdo fatoriza como
Ou seja, estamos resolvendo
.
Passo 3
Usamos uma troca muito útil: escrevemos
. Vou mostrar por que isso simplifica: calcule
Aplicando
três vezes obtemos
Portanto a equação
reduz-se a
Essa substituição é padrão: ela transforma o operador deslocado
em derivação simples sobre
.
Passo 4
Integramos três vezes para obter
. Podemos escrever a solução geral de
(com
) por integrais iteradas:
onde
é um ponto de referência e
são constantes de integração que correspondem à solução homogênea. Para obter uma solução particular basta escolher
.
Há uma forma compacta da integral tripla (fórmula de Cauchy para integrais iteradas):
Uma maneira rápida de ver essa igualdade é derivar a expressão da direita três vezes em
: a terceira derivada dá
, e as constantes iniciais aparecem quando avaliamos nas derivadas menores — isso é a característica da fórmula de integração repetida.
Voltando à nossa variável
, lembrando
, tomamos a solução particular (com constantes nulas) e obtemos a fórmula integral para uma solução particular:
onde
é um ponto fixo (por exemplo
); diferentes escolhas de
dão soluções particulares que diferem por uma combinação da solução homogênea, então qualquer
serve para produzir uma solução particular.
Passo 5
Agora aplicamos ao caso
. Na fórmula temos o fator
, que aqui simplifica muito:
Escolhemos
por conveniência e obtemos
Calculamos a integral passo a passo. Expanda
, então
Integramos termo a termo de
a
:
Somando:
Colocando em denominador comum
obtemos
, logo a integral vale
.
Logo
Passo 6
Podemos conferir rapidamente: usando a observação do Passo 3, com
temos
. Se tomarmos
(zero nas constantes de integração), isso satisfaz
, e portanto
é de fato uma solução particular.