Classificar as equações diferenciais quanto ao tipo, à linearidade e à ordem:
\left(1-y^{2}\right) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(1 - y^{2})\,dx + x\,dy = 0
e pede para classificá-la quanto ao tipo, à linearidade e à ordem. O conteúdo aqui é identificação de equações diferenciais ordinárias e distinção entre lineares e não lineares, de acordo com a presença de potências ou produtos da função incógnita.

Passo 2

Para ver de que tipo de equação se trata, colocamos em forma normal dividindo por dx:
1 - y^{2} + x\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{dy}{dx} = y^{2} - 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} - 1}{x}.

Passo 3

A ordem de uma equação diferencial é o maior grau de derivada que aparece. Aqui aparece apenas \frac{dy}{dx}, isto é, derivada de primeira ordem. Logo, é de primeira ordem.

Passo 4

Para ser linear em y, a equação na forma \frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x) não deve ter potências ou produtos não lineares de y. Mas temos
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}-1}{x},
onde aparece o termo y^{2}. Isso mostra que não é linear (é não linear em y).

Passo 5

É uma equação diferencial que envolve uma única função y(x), ou seja, é ordinária. Além disso, a forma
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}-1}{x}
permite separar variáveis:
\frac{dy}{y^{2}-1} = \frac{dx}{x},
logo é também uma equação separável.

Resposta

A equação diferencial é
ordinária,
de primeira ordem,
não linear,
separável.

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