Obter a solução particular dos PVC abaixo. Para tanto, resolva as EDO e, em seguida, determine os coeficientes arbitrários por meio das condições de contorno.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x, \quad y(0)=0, \quad y(1)=-1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de contorno
y'' - 2y' + y = x,
com condições
y(0) = 0, \quad y(1) = -1.
Este é um problema de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos achar a solução geral somando a solução da homogênea e uma particular, depois ajustar os coeficientes pelas condições de contorno.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r=1. Logo a solução homogênea é
y_h(x) = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{x}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_p polinomial de grau 1, digamos
y_p(x) = A x + B.
Então
y_p' = A, \qquad y_p'' = 0,
e substituindo na EDO original:
0 - 2A + (A x + B) = x.
Isto implica
A x + (B - 2A) = x
e, igualando coeficientes de x e termo constante, obtemos
A = 1, \quad B - 2A = 0 \;\Longrightarrow\; B = 2.
Assim
y_p(x) = x + 2.

Passo 4

A solução geral do problema é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{x} + x + 2.

Passo 5

Usando y(0)=0:
\bigl(C_1 + C_2\cdot0\bigr)e^{0} + 0 + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; C_1 + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; C_1 = -2.
Usando y(1)=-1:
\bigl(C_1 + C_2\cdot1\bigr)e^{1} + 1 + 2 = -1 \;\Longrightarrow\; (-2 + C_2)e = -4 \;\Longrightarrow\; C_2 = 2 - \frac{4}{e}.

Resposta

y(x) = \Bigl(-2 + \Bigl(2 - \tfrac{4}{e}\Bigr)x\Bigr)e^{x} + x + 2.

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