Classifique a afirmação abaixo como verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
cos (2 theta)=2 sen(theta) cos (theta), para todo theta in R

Passo 1

Beleza, vamos analisar a afirmação: cos (2 theta)=2 sen(theta) cos (theta) para todo theta in R. Estamos trabalhando com identidades trigonométricas, especificamente com as fórmulas de ângulos duplos. Vamos precisar revisar essas identidades para ver se a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a identidade para o cosseno do dobro de um ângulo. A fórmula é:
Existem variações dessa identidade, mas essa é a forma básica.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a identidade para o seno do dobro de um ângulo. A fórmula é:
Perceba que o lado direito da nossa afirmação original é exatamente essa expressão de .

Passo 4

Então, comparando as duas expressões:
  • A afirmação diz que
  • Sabemos que
Isso significa que a afirmação está dizendo que , o que não é uma identidade verdadeira para todo cos(2theta) = 2 sen(theta) cos(theta).

Passo 5

Além disso, podemos testar com um valor específico de theta. Por exemplo, se theta = 0:
  • cos(2 cdot 0) = cos(0) = 1
Claramente, 2 sen(0) cos(0) = 2 cdot 0 cdot 1 = 0, então a afirmação não é verdadeira.

Resposta

Falsa. A igualdade cos (2 theta)=2 sen(theta) cos (theta) não é verdadeira para todo theta in R.

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