Classifique a afirmação abaixo como verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
, para todo
Passo 1
Beleza, vamos analisar a afirmação:
para todo
. Estamos trabalhando com identidades trigonométricas, especificamente com as fórmulas de ângulos duplos. Vamos precisar revisar essas identidades para ver se a igualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a identidade para o cosseno do dobro de um ângulo. A fórmula é:
Existem variações dessa identidade, mas essa é a forma básica.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a identidade para o seno do dobro de um ângulo. A fórmula é:
Perceba que o lado direito da nossa afirmação original é exatamente essa expressão de .
Passo 4
Então, comparando as duas expressões:
- A afirmação diz que
- Sabemos que
Isso significa que a afirmação está dizendo que , o que não é uma identidade verdadeira para todo
.
Passo 5
Além disso, podemos testar com um valor específico de
. Por exemplo, se
:
Claramente,
, então a afirmação não é verdadeira.
Resposta
Falsa. A igualdade
não é verdadeira para todo
.