Determine a derivada das funções abaixo:
f(x)=x^3raiz3 x^2-1

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente na parte de derivadas de funções que são quocientes e que envolvem raízes. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam o quociente. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

A Regra do Quociente diz que a derivada de f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2 é:
Vamos calcular e .

Passo 4

Calculando u(x) = x^3 implies u'(x) = 3x^2 :

Passo 5

Agora, calculando v(x) = (3x^2 - 1)^12 . Primeiro, reescrevemos v'(x) = 12 cdot (3x^2 - 1)^-12 cdot 6x = 3xraiz3x^2 - 1 para facilitar a derivação:
Para derivar isso, usamos a Regra da Cadeia. A derivada de é .

Passo 6

Agora, aplicando a Regra do Quociente:
f'(x) = 3x^2 cdot raiz3x^2 - 1 - x^3 cdot 3xraiz3x^2 - 1( raiz3x^2 - 1 )^2

Passo 7

Simplificando o denominador:
(raiz3x^2 - 1)^2 = 3x^2 - 1
Então, temos:
f'(x) = 3x^2 cdot raiz3x^2 - 1 - 3x^4raiz3x^2 - 13x^2 - 1

Passo 8

Para simplificar ainda mais, podemos combinar os termos do numerador sobre um denominador comum:
f'(x) = 3x^2(3x^2 - 1) - 3x^4(3x^2 - 1)^32

Passo 9

Distribuindo e simplificando o numerador:
3x^2(3x^2 - 1) - 3x^4 = 9x^4 - 3x^2 - 3x^4 = 6x^4 - 3x^2
Então:
f'(x) = 6x^4 - 3x^2(3x^2 - 1)^32

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 6x^4 - 3x^2(3x^2 - 1)^32

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