Classifique as afirmações abaixo sobre retas e os planos no espaço em verdadeiras (V) ou falsas (F). Se as retas
e
são ambas perpendiculares à reta
, então
e
são paralelas.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a afirmação “Se as retas
e
são ambas perpendiculares à reta
, então
e
são paralelas.” O conteúdo envolve geometria analítica no espaço, usando a noção de vetores diretores, produto escalar e paralelismo.
Passo 2
Duas retas são paralelas quando seus vetores diretores são múltiplos escalares entre si. Duas retas são perpendiculares quando o produto escalar entre seus vetores diretores é zero. Vamos chamar de
os vetores diretores de
, respectivamente.
A afirmação dá as condições e
. Isso significa que tanto
quanto
estão no plano ortogonal a
. Mas vetores num mesmo plano ortogonal a
não precisam ser paralelos; basta que sejam linearmente independentes para não serem múltiplos escalares.
A afirmação dá as condições
Passo 3
Para ver isso num exemplo concreto, tome
como o eixo
,
como o eixo
e
como o eixo
. Os vetores diretores são
e
, ambos ortogonais a
, mas
e
são perpendiculares entre si, logo não paralelas.
Passo 4
Como existe contraexemplo em que
e
não são paralelas apesar de cada uma ser perpendicular a
, a afirmação é falsa.
Resposta
F