Encontre a interseção dos seguintes planos:
Passo 1
O enunciado pede a interseção das retas definidas pelos planos π₁, π₂ e π₃, ou seja, todos os pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as três equações. O conteúdo principal é Álgebra Linear (sistemas lineares e classificação de posições relativas de planos) e vamos precisar avaliar dependência linear dos vetores normais.
Passo 2
Para entender a relação entre os planos, extraímos os vetores normais: n₁=(2,1,−1), n₂=(−4,−2,2) e n₃=(6,3,−3). Observamos que n₂=−2·n₁ e n₃=−3·n₁, ou seja, todos os vetores normais são colineares. Isso significa que os planos são paralelos ou coincidentes.
Passo 3
Para verificar se são coincidentes, notamos que π₂ é exatamente −2·π₁ e π₃ é −3·π₁, pois ao multiplicar a equação de π₁ por −2 ou por −3 obtemos π₂ e π₃, respectivamente. Logo todas as equações representam o mesmo plano.
Passo 4
Como não há nenhuma restrição extra além de 2x+y−z=−2, a interseção dos três planos é o próprio plano dado por π₁.
Resposta
A interseção é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) que satisfazem o plano 2x + y - z = -2, isto é, { (x,y,z)∈ℝ³ ∣ 2x + y - z = -2 }.