Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
( ) Se
converge, então
converge;
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação:
( ) Se
converge, então
converge.
Informações dadas:
- Sabe-se que a série
converge (isto é, a soma dos termos a partir de tem limite finito). - Pergunta-se se a série que começa em
necessariamente converge.
Passo 2
Lembrete importante (definição que vou usar): dizer que a série
converge significa que a sequência dos somatórios parciais
tem limite finito quando
. Ou seja, existe
tal que
Uma soma finita de termos
(por exemplo para
) é sempre bem definida como um número real (não depende de convergência infinita).
Passo 3
Defino a soma parcial da série que começa em
:
Vou relacionar
com
. Note que, por definição de somas parciais,
Chamando
(uma soma finita, portanto um número real), a igualdade acima vira
Passo 4
Da igualdade
temos
Agora tomo limite quando
. Como foi dado que
existe e
é um número fixo, segue que
que é um número finito. Logo a sequência dos somatórios parciais
converge, isto é, a série
converge.
Passo 5
Comentário didático e intuitivo: retirar um número finito de termos do início de uma série não altera se ela converge ou não — apenas altera a soma total por uma constante (a soma desses termos retirados). Na prática, para prova em prova: se a série completa converge, qualquer “cauda” (série iniciando em um índice finito mais alto) também converge porque os somatórios parciais estão relacionados por subtrair uma soma finita.
Resposta
(V)