Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge, então \sum_{n=100}^{+\infty} a_{n} converge;

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação:
( ) Se \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge, então \displaystyle\sum_{n=100}^{+\infty} a_{n} converge.
Informações dadas:
  • Sabe-se que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge (isto é, a soma dos termos a partir de n=1 tem limite finito).
  • Pergunta-se se a série que começa em n=100 necessariamente converge.

Passo 2

Lembrete importante (definição que vou usar): dizer que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge significa que a sequência dos somatórios parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
tem limite finito quando N\to+\infty. Ou seja, existe S\in\mathbb{R} tal que
\lim_{N\to+\infty} S_N = S.
Uma soma finita de termos \sum_{n=1}^{k} a_n (por exemplo para k=99) é sempre bem definida como um número real (não depende de convergência infinita).

Passo 3

Defino a soma parcial da série que começa em 100:
T_N=\sum_{n=100}^{N} a_n\qquad\text{(para }N\ge 100\text{).}
Vou relacionar T_N com S_N. Note que, por definição de somas parciais,
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n=\sum_{n=1}^{99} a_n + \sum_{n=100}^{N} a_n.
Chamando
S_{99}=\sum_{n=1}^{99} a_n
(uma soma finita, portanto um número real), a igualdade acima vira
S_N = S_{99} + T_N.

Passo 4

Da igualdade S_N = S_{99}+T_N temos
T_N = S_N - S_{99}.
Agora tomo limite quando N\to+\infty. Como foi dado que \lim_{N\to+\infty} S_N = S existe e S_{99} é um número fixo, segue que
\lim_{N\to+\infty} T_N = \lim_{N\to+\infty} (S_N - S_{99}) = S - S_{99},
que é um número finito. Logo a sequência dos somatórios parciais T_N converge, isto é, a série \displaystyle\sum_{n=100}^{+\infty} a_n converge.

Passo 5

Comentário didático e intuitivo: retirar um número finito de termos do início de uma série não altera se ela converge ou não — apenas altera a soma total por uma constante (a soma desses termos retirados). Na prática, para prova em prova: se a série completa converge, qualquer “cauda” (série iniciando em um índice finito mais alto) também converge porque os somatórios parciais estão relacionados por subtrair uma soma finita.

Resposta

(V)

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