é um polinômio de grau 2 que passa pelos pontos
e
. Se
, quanto vale
?
(a)
(b)
(c) 1
(d) 3
(a)
(b)
(c) 1
(d) 3
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que é pedido e os dados fornecidos):
-
é um polinômio de grau 2. - A derivada
passa pelos pontos , e . Ou seja, os valores de nesses pontos são: -
, -
, -
.
-
- Sabe-se também que
. - A pergunta: calcular
. As opções são:
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
Vou escrever a forma geral de um polinômio de grau 2 para
. Um polinômio de grau 2 tem a forma
onde
,
e
são constantes reais que precisamos determinar. Cada coeficiente representa:
-
: coeficiente do termo quadrático ( ), -
: coeficiente do termo linear ( ), -
: termo constante (valor de ).
Passo 3
Usar os pontos dados para montar equações para
. Substituo as três condições em
.
Da condição em
:
Logo já tenho
. (Isso é direto: o valor da derivada em zero é o termo constante.)
Passo 4
Agora uso os outros dois pontos com
.
Para
,
:
Substituindo
:
Para
,
:
Substituindo
:
Posso simplificar a segunda equação dividindo por
:
Passo 5
Resolver o sistema linear em
Somando as duas equações (elimina
:
Passo 6
Agora tenho todos os coeficientes de
:
Verificação rápida (opcional):
,
,
. Tudo confere.
Passo 7
Para obter
integro
. Regra básica: a integral de
é
(para
), e a integral de uma soma é a soma das integrais. Então
onde
é a constante de integração (pois integrar uma derivada recupera a função original até uma constante).
Passo 8
Determinar
usando
. Substituo
em
:
Como
, temos
Passo 9
Agora calcule
substituindo
em
:
Junto as frações:
então
Passo 10
Comparando com as opções, o valor encontrado
corresponde à alternativa (a). Parabéns — foi só seguir passo a passo: montar
, integrar e ajustar a constante com a condição inicial.
Resposta
(a)