f^{\prime}(x) é um polinômio de grau 2 que passa pelos pontos (-1,0),(0,1) e (2,-3). Se f(1)=2, quanto vale f(2) ?
(a) \frac{2}{3}
(b) -\frac{2}{5}
(c) 1
(d) 3

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que é pedido e os dados fornecidos):
  • f^{\prime}(x) é um polinômio de grau 2.
  • A derivada f^{\prime}(x) passa pelos pontos (-1,0), (0,1) e (2,-3). Ou seja, os valores de f^{\prime} nesses pontos são:
    • f^{\prime}(-1)=0,
    • f^{\prime}(0)=1,
    • f^{\prime}(2)=-3.
  • Sabe-se também que f(1)=2.
  • A pergunta: calcular f(2). As opções são:
    (a) \dfrac{2}{3}
    (b) -\dfrac{2}{5}
    (c) 1
    (d) 3

Passo 2

Vou escrever a forma geral de um polinômio de grau 2 para f^{\prime}(x). Um polinômio de grau 2 tem a forma
f^{\prime}(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são constantes reais que precisamos determinar. Cada coeficiente representa:
  • a: coeficiente do termo quadrático ( x^{2}),
  • b: coeficiente do termo linear ( x),
  • c: termo constante (valor de f^{\prime}(0)).

Passo 3

Usar os pontos dados para montar equações para a,b,c. Substituo as três condições em f^{\prime}(x)=ax^{2}+bx+c.
Da condição em x=0:
f^{\prime}(0)=a\cdot0^{2}+b\cdot0+c=c=1.
Logo já tenho c=1. (Isso é direto: o valor da derivada em zero é o termo constante.)

Passo 4

Agora uso os outros dois pontos com c=1.
Para x=-1, f^{\prime}(-1)=0:
a(-1)^{2}+b(-1)+c = a - b + c = 0.
Substituindo c=1:
a - b + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad a - b = -1.
Para x=2, f^{\prime}(2)=-3:
a(2)^{2}+b(2)+c = 4a + 2b + c = -3.
Substituindo c=1:
4a + 2b + 1 = -3 \quad\Rightarrow\quad 4a + 2b = -4.
Posso simplificar a segunda equação dividindo por 2:
2a + b = -2.

Passo 5

Resolver o sistema linear em a\) e \(b\): \[\begin{cases} a - b = -1,\\[4pt] 2a + b = -2. \end{cases}
Somando as duas equações (elimina b\]): \[(a - b) + (2a + b) = -1 + (-2) \quad\Rightarrow\quad 3a = -3.\] Então \[a = -1.\] Substituo em \(a - b = -1:
-1 - b = -1 \quad\Rightarrow\quad -b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 0.]

Passo 6

Agora tenho todos os coeficientes de f^{\prime}:
f^{\prime}(x)=ax^{2}+bx+c = -1\cdot x^{2}+0\cdot x + 1 = 1 - x^{2}.
Verificação rápida (opcional): f^{\prime}(-1)=1-1=0, f^{\prime}(0)=1, f^{\prime}(2)=1-4=-3. Tudo confere.

Passo 7

Para obter f(x) integro f^{\prime}(x). Regra básica: a integral de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1), e a integral de uma soma é a soma das integrais. Então
f(x)=\int f^{\prime}(x)\,dx=\int(1 - x^{2})\,dx = \int 1\,dx - \int x^{2}\,dx = x - \frac{x^{3}}{3} + K,
onde K é a constante de integração (pois integrar uma derivada recupera a função original até uma constante).

Passo 8

Determinar K usando f(1)=2. Substituo x=1 em f(x)=x-\dfrac{x^{3}}{3}+K:
f(1)=1 - \frac{1^{3}}{3} + K = 1 - \frac{1}{3} + K = \frac{2}{3} + K.
Como f(1)=2, temos
\frac{2}{3} + K = 2 \quad\Rightarrow\quad K = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.

Passo 9

Agora calcule f(2) substituindo x=2 em f(x)=x - \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{4}{3}:
f(2)=2 - \frac{2^{3}}{3} + \frac{4}{3} = 2 - \frac{8}{3} + \frac{4}{3}.
Junto as frações:
-\frac{8}{3} + \frac{4}{3} = -\frac{4}{3},
então
f(2)=2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 10

Comparando com as opções, o valor encontrado \dfrac{2}{3} corresponde à alternativa (a). Parabéns — foi só seguir passo a passo: montar f^{\prime}, integrar e ajustar a constante com a condição inicial.

Resposta

(a) \dfrac{2}{3}

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