Assinale uma primitiva de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede que se assinale uma primitiva de
. Ou seja, precisamos encontrar uma função
tal que
. Foram dadas quatro alternativas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Informações relevantes: a integranda tem um numerador
e denominador
. Precisamos testar qual alternativa tem derivada igual a
, ou encontrar uma primitiva diretamente e comparar com as opções.
Passo 2
Estratégia de resolução (sem resolver ainda): quando a integranda tem uma função composta no denominador como
e o numerador é (proporcional a) a derivada da parte interna
, é muito eficiente fazer a substituição
. Isso transforma a integral em uma forma simples. Vou aplicar essa substituição.
Explicação rápida do porquê: se
e
aparece multiplicando a expressão de
, então a integral pode ser reescrita em termos de
usando
. É a ideia básica da substituição (ou mudança de variável) — que é a versão inversa da regra da cadeia.
Passo 3
Faço a substituição
. Calculo
:
Portanto
. Note que esse
é exatamente o numerador da nossa integranda, ótimo sinal.
Passo 4
Reescrevo a integral indefinida
em termos de
. Usando
e
, obtemos:
Passo 5
Agora integro
. Escrevendo
e usando a regra da potência para integrais:
Explicação da regra: para
com
, a primitiva é
. Aqui
, então
e obtemos
.
Passo 6
Volto à variável
substituindo
. Assim uma primitiva geral de
é
(O
é a constante de integração, sempre presente em primitivas.)
Passo 7
Verificação rápida por derivação (regra da cadeia) para confirmar:
Calculo . Pela regra da cadeia:
Calculo
que é exatamente
. Portanto a função encontrada é realmente uma primitiva.
Resposta
(d)