Assinale uma primitiva de f(x)=\frac{3 x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}} :
(a) F(x)=\frac{x^{3}}{\left(x^{4}+1\right)^{3}}
(b) F(x)=\frac{1}{\left(x^{3}+1\right)^{\frac{3}{2}}}
(c) F(x)=-\frac{3 x^{2}}{\left(x^{4}+1\right)^{3}}
(d) F(x)=-\frac{1}{x^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede que se assinale uma primitiva de f(x)=\dfrac{3x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}. Ou seja, precisamos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). Foram dadas quatro alternativas:
(a) F(x)=\dfrac{x^{3}}{\left(x^{4}+1\right)^{3}}
(b) F(x)=\dfrac{1}{\left(x^{3}+1\right)^{\frac{3}{2}}}
(c) F(x)=-\dfrac{3x^{2}}{\left(x^{4}+1\right)^{3}}
(d) F(x)=-\dfrac{1}{x^{3}+1}
Informações relevantes: a integranda tem um numerador 3x^{2} e denominador \left(x^{3}+1\right)^{2}. Precisamos testar qual alternativa tem derivada igual a f(x), ou encontrar uma primitiva diretamente e comparar com as opções.

Passo 2

Estratégia de resolução (sem resolver ainda): quando a integranda tem uma função composta no denominador como \left(x^{3}+1\right)^{2} e o numerador é (proporcional a) a derivada da parte interna x^{3}+1, é muito eficiente fazer a substituição u=x^{3}+1. Isso transforma a integral em uma forma simples. Vou aplicar essa substituição.
Explicação rápida do porquê: se u=g(x) e g'(x) aparece multiplicando a expressão de g(x), então a integral pode ser reescrita em termos de u usando du=g'(x)\,dx. É a ideia básica da substituição (ou mudança de variável) — que é a versão inversa da regra da cadeia.

Passo 3

Faço a substituição u=x^{3}+1. Calculo du:
u = x^{3}+1 \quad\Rightarrow\quad du = 3x^{2}\,dx.
Portanto 3x^{2}\,dx = du. Note que esse 3x^{2}\,dx é exatamente o numerador da nossa integranda, ótimo sinal.

Passo 4

Reescrevo a integral indefinida \displaystyle\int \frac{3x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}}\,dx em termos de u. Usando 3x^{2}\,dx=du e (x^{3}+1)^{2}=u^{2}, obtemos:
\int \frac{3x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}}\,dx = \int \frac{du}{u^{2}}.

Passo 5

Agora integro \displaystyle\int \frac{du}{u^{2}}. Escrevendo u^{-2} e usando a regra da potência para integrais:
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C.
Explicação da regra: para \int u^{n}\,du com n\neq -1, a primitiva é \dfrac{u^{n+1}}{n+1}. Aqui n=-2, então (n+1)=-1 e obtemos -u^{-1}.

Passo 6

Volto à variável x substituindo u=x^{3}+1. Assim uma primitiva geral de f é
F(x) = -\frac{1}{x^{3}+1} + C.
(O +C é a constante de integração, sempre presente em primitivas.)

Passo 7

Verificação rápida por derivação (regra da cadeia) para confirmar:
Calculo \dfrac{d}{dx}\!\left(- (x^{3}+1)^{-1}\right). Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(-(x^{3}+1)^{-1}\right) = -\bigl(-1\bigr)(x^{3}+1)^{-2}\cdot 3x^{2} = \frac{3x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}},
que é exatamente f(x). Portanto a função encontrada é realmente uma primitiva.

Resposta

(d)

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