Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
a) ( ) Se converge e , para todo , então converge.
b) ( ) Se converge, então .
c) ( ) Se e são divergentes, então é divergente.
d) ( ) Se e são convergentes, então é convergente.
e) ( ) Se diverge, então .
f) ( ) Se converge, então converge.
g) ( ) Se diverge, então diverge.
h) ( ) Se diverge e , para todo , então converge.
i) ( ) Se é uma sequência constante, então diverge.
j) ( ) Se e diverge, então diverge.
k) ( ) Se e converge, então converge.
I) ( ) Se converge, então converge.
m) ( ) Se converge, então converge.
n) ( ) Se converge absolutamente, então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar várias afirmações sobre séries infinitas como verdadeiras (V) ou falsas (F). A matéria envolvida aqui é o estudo de convergência e divergência de séries, e pra resolver a gente vai precisar entender alguns testes de convergência, como o teste da comparação, o teste da raiz, entre outros. Vamos analisar cada afirmação uma por uma.
Passo 2
a) Se converge e , para todo , então converge.
Vamos pensar assim: se a série das converge e os termos são positivos, será que a série das raízes desses termos também converge? Nem sempre! Por exemplo, se , a série converge, mas , e a série diverge. Então, essa afirmação é Falsa.
Passo 3
b) Se converge, então converge.
Aqui, a gente está basicamente cortando os primeiros 99 termos da série. Se a série original converge, remover um número finito de termos não afeta a convergência. Portanto, essa afirmação é Verdadeira.
Passo 4
c) Se e são divergentes, então é divergente.
Não é tão simples assim. Considera por exemplo , que divergem. Mas para todo , e a série claramente diverge. Porém, isso não garante que sempre vai acontecer. Há casos onde produtos de séries divergentes possam convergir, dependendo dos termos. Mas, na maioria das vezes, a série resultante tende a divergir. Então, temos uma tendência de que seja Verdadeira.
Passo 5
d) Se e são convergentes, então é convergente.
Mesmo se as séries individuais convergem, o produto dos termos não necessariamente converge. Por exemplo, se , ambas as séries e divergiriam. Mas se ajustarmos, por exemplo, , então e divergem, o que não nos ajuda. Enfim, o produto pode convergir ou não, dependendo dos termos, então a afirmação é Falsa.
Passo 6
e) Se diverge, então .
Na verdade, para qualquer série convergente, . Porém, se a série diverge, o limite dos termos pode ser zero ou não. Por exemplo, a série harmônica diverge mesmo com . Então, essa afirmação é Falsa.
Passo 7
f) Se converge, então converge.
Se a série das converge, e os termos são quadrados positivos, aplica-se o teste da comparação. Como para , a série também converge. Portanto, essa afirmação é Verdadeira.
Passo 8
g) Se diverge, então diverge.
Isso não é necessariamente verdade. Por exemplo, se , a série diverge, mas também diverge. Porém, se , diverge e converge. Então, essa afirmação é Falsa.
Passo 9
h) Se diverge e , para todo , então converge.
Isso não faz sentido. Se a série diverge, tomar os inversos dos termos não garante convergência. Por exemplo, se , a série diverge e também diverge. Então, a afirmação é Falsa.
Passo 10
i) Se é uma sequência constante, então diverge.
Se a sequência é constante, digamos , então a série é , que só converge se . Mas a afirmação não exclui , então em geral, a série diverge. Portanto, a afirmação é Verdadeira.
Passo 11
j) Se e diverge, então diverge.
Não necessariamente. Se , isso sugere que é menor que para grandes . Mas se diverge, poderia convergir. Por exemplo, se (diverge) e (converge). Então, a afirmação é Falsa.
Passo 12
k) Se e converge, então converge.
Se , então cresce muito mais rápido que . Se converge, mas os são muito maiores, a série provavelmente diverge. Portanto, a afirmação é Falsa.
Passo 13
l) Se converge, então converge.
Isso só é verdadeiro se a série converge absolutamente. A afirmação presume que já converge, mas pode ser convergente condicionalmente. Por exemplo, a série alternada converge, mas a série dos valores absolutos diverge. Assim, a afirmação é Falsa.
Passo 14
m) Se converge, então converge.
Isso é o que chamamos de convergência absoluta. Se a série dos valores absolutos converge, então a série original também converge. Portanto, a afirmação é Verdadeira.
Passo 15
n) Se converge absolutamente, então .
Isso é uma consequência da desigualdade triangular para séries. Se a série converge absolutamente, a soma dos valores absolutos é maior ou igual ao valor absoluto da soma. Portanto, essa afirmação é Verdadeira.
Resposta
a) F
b) V
c) V
d) F
e) F
f) V
g) F
h) F
i) V
j) F
k) F
l) F
m) V
n) V