Verifique que as séries abaixo atendem as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, decida sobre a convergência da série.
a) sumn=1^+infty e^-n
b) sumn=1^+infty ln nn
c) sumn=1^+infty 1n^2+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se as séries apresentadas atendem às hipóteses do Teste da Integral e, com isso, decidirmos se cada série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Precisamos verificar se a função associada à série é positiva, contínua e decrescente para aplicar o teste.

Passo 2

Vamos começar com a série a):
sumn=1^+infty e^-n
Primeiro, identificamos a função .
Positiva: Claro que sim, pois para todo .
Contínua: A função exponencial é contínua para todo .
Decrescente: Sim, porque conforme aumenta, diminui.
Como a função cumpre todas as hipóteses do Teste da Integral, podemos aplicar o teste.

Passo 3

Agora, calculamos a integral de integral1^+infty e^-x ,dx de 1 até limb to +infty [ -e^-x ]1^b = limb to +infty (-e^-b + e^-1) = 0 + e^-1 = e^-1 :
A antiderivada de é , então:
Como a integral converge para , pelo Teste da Integral, a série também converge.

Passo 4

Agora, vamos para a série b):
sumn=1^+infty ln nn
A função associada é f'(x) = 1 cdot x - ln x cdot 1x^2 = x - ln xx^2 .
Positiva: Sim, para , .
Contínua: A função é contínua para .
Decrescente: Vamos verificar a derivada de :
Para , , mas para valores maiores, a função tende a diminuir. Portanto, eventualmente a função é decrescente.
Assim, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 5

Calculamos a integral de integral1^+infty ln xx ,dx de 1 até integral0^+infty u ,du = limb to +infty u^22 |0^b = limb to +infty b^22 = +infty :
Fazendo a substituição , então . A integral se transforma em:
Como a integral diverge para o infinito, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Passo 6

Por fim, a série c):
sumn=1^+infty 1n^2+4
A função aqui é .
Positiva: Sim, para todo , , então .
Contínua: A função é contínua para todo .
Decrescente: À medida que aumenta, aumenta, então diminui.
Atendemos às hipóteses do Teste da Integral, então vamos aplicar o teste.

Passo 7

Calculamos a integral de integral1^+infty 1x^2+4 ,dx de 1 até integral 1x^2+a^2 dx = 1a tan^-1(xa) + C :
integral1^+infty 1x^2+4 ,dx = [ 12 tan^-1(x2) ]1^+infty
Sabemos que:
limb to +infty 12 tan^-1(b2) - 12 tan^-1(12) = 12 cdot pi2 - 12 tan^-1(12) = pi4 - 12 tan^-1(12)
Aqui, , então:
Calculando os limites:
Isso é um número finito, o que significa que a integral converge.

Resposta

a) A série converge.
b) A série diverge.
c) A série converge.

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