Verifique que as séries abaixo atendem as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, decida sobre a convergência da série.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se as séries apresentadas atendem às hipóteses do Teste da Integral e, com isso, decidirmos se cada série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Precisamos verificar se a função associada à série é positiva, contínua e decrescente para aplicar o teste.
Passo 2
Vamos começar com a série a):
Primeiro, identificamos a função .
Positiva: Claro que sim, pois para todo .
Contínua: A função exponencial é contínua para todo .
Decrescente: Sim, porque conforme aumenta, diminui.
Como a função cumpre todas as hipóteses do Teste da Integral, podemos aplicar o teste.
Passo 3
Agora, calculamos a integral de de 1 até :
A antiderivada de é , então:
Como a integral converge para , pelo Teste da Integral, a série também converge.
Passo 4
Agora, vamos para a série b):
A função associada é .
Positiva: Sim, para , .
Contínua: A função é contínua para .
Decrescente: Vamos verificar a derivada de :
Para , , mas para valores maiores, a função tende a diminuir. Portanto, eventualmente a função é decrescente.
Assim, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 5
Calculamos a integral de de 1 até :
Fazendo a substituição , então . A integral se transforma em:
Como a integral diverge para o infinito, pelo Teste da Integral, a série também diverge.
Passo 6
Por fim, a série c):
sumn=1^+infty 1n^2+4
A função aqui é .
Positiva: Sim, para todo , , então .
Contínua: A função é contínua para todo .
Decrescente: À medida que aumenta, aumenta, então diminui.
Atendemos às hipóteses do Teste da Integral, então vamos aplicar o teste.
Passo 7
Calculamos a integral de integral1^+infty 1x^2+4 ,dx de 1 até integral 1x^2+a^2 dx = 1a tan^-1(xa) + C :