Dado que y1(t)=cos t é uma solução para y^prime prime-y^prime+y=sen t, use o princípio da superposição para achar soluções para:
& (c) y^prime prime-y^prime+y=4 sen t+18 e^2 t

Passo 1

A equação que queremos resolver é uma ODE linear não homogênea do tipo y''-y'+y=4sin t+18e^2t. O conteúdo envolve o princípio da superposição e o método dos coeficientes indeterminados: vamos usar que já sabemos uma solução para ;y''-y'+y=sin t, e depois encontrar uma para ;y''-y'+y=e^2t.

Passo 2

Para a parte 4sin t, note que já temos y1(t)=cos t satisfazendo y''-y'+y=sin t. Como o operador é linear, basta multiplicar por 4 para obter uma solução de 4sin t. Logo,
yp1(t)=4cos t,
pois
L[4cos t]=4,L[cos t]=4sin t

Passo 3

Agora vamos achar uma solução particular para 18e^2t. Primeiro encontramos uma para e^2t: suponha yp2(t)=Ae^2t. Então
y'p2=2Ae^2t,
y''p2=4Ae^2t,
e substituindo em y''-y'+y vem
L[Ae^2t]=(4A-2A+A)e^2t=3A e^2t

Passo 4

Queremos 3A e^2t=e^2t, então A=1/3. Isso dá
yp2(t)=tfrac13e^2t
e, por superposição, para 18e^2t basta multiplicar por 18:
yp2^,(18)(t)=18cdottfrac13e^2t=6e^2t

Passo 5

Finalmente, somamos as duas partes particulares para obter uma solução da ODE completa:
y(t)=yp1(t)+yp2^,(18)(t)=4cos t+6e^2t

Resposta

Uma solução particular é
y(t)=4cos t+6e^2t

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