Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} divergem, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n} b_{n}\right) converge;
Passo 1
O enunciado pede que classifiquemos como verdadeira (V) ou falsa (F) a afirmação:
( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} divergem, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n} b_{n}\right) converge.
Informações relevantes dadas:
Sabemos que as séries \sum_{n=1}^{\infty} a_n e \sum_{n=1}^{\infty} b_n divergam (sem mais hipóteses sobre sinais ou taxas).
Precisamos decidir se isso garante que \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n converge, e justificar com demonstração ou contra‑exemplo.
Passo 2
Vamos lembrar definições e resultados úteis (de forma didática e direta):
Definição: A série \sum_{n=1}^{\infty} x_n converge se a sequência dos somatórios parciais S_N=\sum_{n=1}^N x_n tem limite finito quando N\to\infty. Caso contrário, a série diverga.
Exemplo importante (teste p-série): A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}
converge se, e somente se, p>1. Para p=1 (a famosa série harmônica) a série diverge.
Ferramenta simples para a série harmônica (p=1): pode-se mostrar que a soma parcial até 2^k cresce sem limite usando agrupamento, por exemplo:
cada bloco \{1/3+1/4\},\{1/5+\dots+1/8\},\dots soma pelo menos 1/2, levando a somas parciais que tendem a +\infty.
Vou usar esses fatos para construir um contra‑exemplo simples.
Passo 3
Proponho o contra‑exemplo
a_n = \frac{1}{n},\qquad b_n = \frac{1}{n}\quad\text{para todo }n\ge1.
Verificações que preciso fazer:
Mostrar que \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} diverge.
Mostrar que \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} diverge (é o mesmo caso).
Mostrar que \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} converge.
Passo 4
Mostrando que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge (prova via agrupamento, passo a passo):
Em cada parêntese da forma \big(\frac{1}{2^{j-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^j}\big) há 2^{j-1} termos, e cada termo é pelo menos \dfrac{1}{2^j}. Logo essa soma de bloco é \ge 2^{j-1}\cdot\dfrac{1}{2^j}=\dfrac{1}{2}. Assim
portanto a série é absolutamente convergente e seu somatório é finito (de fato \sum_{n=1}^\infty 1/n^2=\pi^2/6, mas não é necessário conhecer esse valor exato).
Logo as duas séries originais divergem, enquanto a série dos produtos converge.
Passo 6
Conclusão do raciocínio: já exibimos um contra‑exemplo explícito (a_n=b_n=1/n) que satisfaz as hipóteses (as duas séries divergem) mas para o qual \sum a_n b_n converge. Portanto a afirmação proposta é falsa.
Observação final (didática e breve): não existe uma regra geral que diga que produto de termos de séries divergentes terá série convergente — às vezes sim (como o contra‑exemplo), às vezes não (por exemplo, se a_n=b_n=1/\sqrt{n}, as séries \sum 1/\sqrt{n} divergem e \sum 1/n também diverge). Tudo depende das taxas de decaimento dos termos.