Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contraexemplo.
§ ( ) Se sumn=1^+infty an diverge, então sumn=1^+infty an^2 diverge;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma afirmação que diz: “Se a série diverge, então a série também diverge.” O conteúdo aqui envolve séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, precisamos entender quando uma série converge ou diverge e ver se a divergência da primeira implica na divergência da segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série divergir ou convergir. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um limite finito quando vamos adicionando mais termos. Caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação. Ela sugere que se não tem um limite finito (diverge), então também não terá. Mas isso sempre acontece?

Passo 4

Vamos pensar em um exemplo concreto. Tome a série harmônica: . Sabemos que essa série diverge. Agora, considere a série dos quadrados desses termos: .

Passo 5

Sabemos que a série é uma série p, onde . Para séries p, se , a série converge. Então, mesmo que diverja, converge.

Passo 6

Isso mostra que é possível ter uma série que diverge, mas a série converge. Portanto, a afirmação original não é sempre verdadeira.

Resposta

Falsa (F). Por exemplo, a série harmônica diverge, mas a série dos quadrados converge.

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