Seja f(x, y) = -8x^5 + 5x^3y - 2y^2. Calcule:
b) encontre a derivada direcional no ponto P(1,2) na direção do vetor
v = (-2/3, 1/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, , e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular as derivadas parciais da função e usar um vetor de direção normalizado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto dado e do vetor de direção unitário.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Então, o gradiente de no ponto é:

Passo 5

Agora, precisamos do vetor de direção unitário. Isso significa que vamos transformar o vetor em um vetor com comprimento 1.
Primeiro, calculamos o magnitude de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é 6,2.

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