Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(b) y' = 2t / (y + t^2 y), y(0) = -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Aqui, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais, especificamente equações separáveis. Precisamos separar as variáveis e para integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do lado direito. Observe que podemos fatorar no denominador:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e por :
Dessa forma, todas as expressões com ficam de um lado e com do outro, facilitando a integração.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo:
Do lado direito, temos:
Aqui, usamos uma substituição. Seja , então . Assim, a integral fica:

Passo 5

Igualando as integrais dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e :
Como , temos .

Passo 7

Substituindo na equação de :
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Lembrando que a condição inicial nos indica que a solução é negativa:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados