Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Aqui, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais, especificamente equações separáveis. Precisamos separar as variáveis
e
para integrar cada lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do lado direito. Observe que podemos fatorar
no denominador:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
:
Dessa forma, todas as expressões com
ficam de um lado e com
do outro, facilitando a integração.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo:
Do lado direito, temos:
Aqui, usamos uma substituição. Seja
, então
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Igualando as integrais dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Como
, temos
.
Passo 7
Substituindo
na equação de
:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Lembrando que a condição inicial
nos indica que a solução é negativa:
Resposta
A solução da equação diferencial é: