Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas e justifique.
Todo campo com rotacional nulo é conservativo.
Todo campo com rotacional nulo é conservativo.
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique como verdadeira ou falsa a afirmação:
“Todo campo com rotacional nulo é conservativo.”
Não foram dados campos específicos nem hipóteses sobre o domínio ou regularidade do campo — só a afirmação geral. O objetivo é decidir V/F e justificar com argumentos e exemplos.
Passo 2
Primeiro vou explicar claramente os conceitos envolvidos, devagarinho e com jeitinho:
- Definição de campo conservativo: um campo vetorial
é dito conservativo se existe uma função escalar chamada potencial tal que
Outra forma totalmente equivalente (útil na prova) é:
é conservativo se o integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos finais (independência de caminho). Em particular, para todo laço fechado
do domínio,
- Definição de rotacional nulo: o rotacional (curl) de
é
Dizemos “rotacional nulo” quando
em toda a região onde
está definido.
Essas duas definições nos dão duas propriedades que parecem relacionadas: se
então sempre teremos
. Logo, “conservativo implica rotacional nulo” é verdadeiro (desde que se tome regularidade suficiente para trocar derivadas). A questão é: o recíproco (“rotacional nulo implica conservativo”) é sempre verdadeiro? É isso que precisamos decidir.
Passo 3
Vou explicar a resposta teórica padrão (o teorema que aparece em livros):
Teorema (forma informal e útil para provas): se
é um campo vetorial de classe
(parciais contínuas) definido em uma região aberta e simplesmente conexa
, então
implica que existe
tal que
em
. Ou seja, em domínios abertos e simplesmente conexos, rotacional nulo implica conservativo.
Aqui é crucial entender “simply connected” (simplesmente conexo): significa que qualquer laço fechado contínuo no domínio pode ser continuamente deformado (contratado) a um ponto sem sair do domínio — em linguagem prática: o domínio não tem “buracos”. Exemplos:
-
é simplesmente conexo. -
não é simplesmente conexo (tem um buraco no centro). -
não é simplesmente conexo.
Portanto, a implicação “rotacional nulo
conservativo” precisa dessa hipótese topológica; sem ela, a conclusão pode falhar. Vou mostrar um contraexemplo concreto para deixar isso bem claro.
Passo 4
Construção do contraexemplo no plano: defino o campo
por
Observações imediatas:
- O campo não está definido em
, então o domínio é , que não é simplesmente conexo (tem um buraco no centro). - Vou calcular o “rotacional” (no plano interpretado como
) e mostrar que ele é zero no domínio .
Escrevendo
e
. Calculo as derivadas parciais:
Primeiro note
. Para
:
Agora
:
Logo
Portanto
em todo
. Constatado: rotacional nulo no domínio onde o campo está definido.
Passo 5
Agora mostro que
NÃO é conservativo em
. A maneira mais direta é calcular a integral de linha ao longo do círculo unitário
(laço fechado) centrado na origem. Parametrizo
por
então
. Avalio
na curva: para pontos do círculo
, temos
O produto escalar é
Logo a integral de linha ao longo de
é
Como existe um laço fechado com integral não nula,
não é conservativo em
. Isso contradiz a afirmação “rotacional nulo
conservativo” se não impusermos hipóteses sobre o domínio.
Passo 6
Interpretação final e moral (bem amigo): o que aconteceu foi que o rotacional realmente detecta a ausência de “vórtices” localmente, mas não vê a topologia global do domínio (buracos). Em domínios com buracos uma circulação global pode existir mesmo com rotacional zero localmente. Por isso, a afirmação original, sem hipóteses adicionais, é falsa; entretanto, se exigirmos que o domínio seja aberto e simplesmente conexo (e que as derivadas parciais de
sejam contínuas), aí sim rotacional nulo implica conservativo.
Resposta
Falso.