Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas e justifique.
Todo campo com rotacional nulo é conservativo.

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique como verdadeira ou falsa a afirmação:
“Todo campo com rotacional nulo é conservativo.”
Não foram dados campos específicos nem hipóteses sobre o domínio ou regularidade do campo — só a afirmação geral. O objetivo é decidir V/F e justificar com argumentos e exemplos.

Passo 2

Primeiro vou explicar claramente os conceitos envolvidos, devagarinho e com jeitinho:
  • Definição de campo conservativo: um campo vetorial \mathbf{F} é dito conservativo se existe uma função escalar chamada potencial \varphi tal que
\mathbf{F} = \nabla \varphi.
Outra forma totalmente equivalente (útil na prova) é: \mathbf{F} é conservativo se o integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos finais (independência de caminho). Em particular, para todo laço fechado C do domínio,
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0.
  • Definição de rotacional nulo: o rotacional (curl) de \mathbf{F} é
\nabla\times\mathbf{F}.
Dizemos “rotacional nulo” quando
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}
em toda a região onde \mathbf{F} está definido.
Essas duas definições nos dão duas propriedades que parecem relacionadas: se \mathbf{F}=\nabla\varphi então sempre teremos \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}. Logo, “conservativo implica rotacional nulo” é verdadeiro (desde que se tome regularidade suficiente para trocar derivadas). A questão é: o recíproco (“rotacional nulo implica conservativo”) é sempre verdadeiro? É isso que precisamos decidir.

Passo 3

Vou explicar a resposta teórica padrão (o teorema que aparece em livros):
Teorema (forma informal e útil para provas): se \mathbf{F} é um campo vetorial de classe C^1 (parciais contínuas) definido em uma região aberta e simplesmente conexa D\subset\mathbb{R}^n, então
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}\quad\text{em }D
implica que existe \varphi tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi em D. Ou seja, em domínios abertos e simplesmente conexos, rotacional nulo implica conservativo.
Aqui é crucial entender “simply connected” (simplesmente conexo): significa que qualquer laço fechado contínuo no domínio pode ser continuamente deformado (contratado) a um ponto sem sair do domínio — em linguagem prática: o domínio não tem “buracos”. Exemplos:
  • \mathbb{R}^2 é simplesmente conexo.
  • \mathbb{R}^2\setminus\{0\} não é simplesmente conexo (tem um buraco no centro).
  • \mathbb{R}^3\setminus\{ \text{eixo } z\} não é simplesmente conexo.
Portanto, a implicação “rotacional nulo \Rightarrow conservativo” precisa dessa hipótese topológica; sem ela, a conclusão pode falhar. Vou mostrar um contraexemplo concreto para deixar isso bem claro.

Passo 4

Construção do contraexemplo no plano: defino o campo \mathbf{F}:\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\to\mathbb{R}^2 por
\mathbf{F}(x,y)=\left(-\dfrac{y}{x^2+y^2},\;\dfrac{x}{x^2+y^2}\right).
Observações imediatas:
  • O campo não está definido em (0,0), então o domínio é D=\mathbb{R}^2\setminus\{0\}, que não é simplesmente conexo (tem um buraco no centro).
  • Vou calcular o “rotacional” (no plano interpretado como \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y) e mostrar que ele é zero no domínio D.
Escrevendo P(x,y)=-\dfrac{y}{x^2+y^2} e Q(x,y)=\dfrac{x}{x^2+y^2}. Calculo as derivadas parciais:
Primeiro note r^2=x^2+y^2. Para \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
Q(x,y)=x r^{-2}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=r^{-2} + x\cdot(-2)r^{-4}\cdot x = r^{-2}-2\frac{x^2}{r^{4}}=\frac{r^{2}-2x^{2}}{r^{4}}=\frac{-x^{2}+y^{2}}{r^{4}}.
Agora \dfrac{\partial P}{\partial y}:
P(x,y)=-y r^{-2}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}=-r^{-2} + (-y)\cdot(-2)r^{-4}\cdot y = -r^{-2}+2\frac{y^{2}}{r^{4}}=\frac{-r^{2}+2y^{2}}{r^{4}}=\frac{-x^{2}+y^{2}}{r^{4}}.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-x^{2}+y^{2}}{r^{4}} - \frac{-x^{2}+y^{2}}{r^{4}} = 0.
Portanto \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em todo D=\mathbb{R}^2\setminus\{0\}. Constatado: rotacional nulo no domínio onde o campo está definido.

Passo 5

Agora mostro que \mathbf{F} NÃO é conservativo em D. A maneira mais direta é calcular a integral de linha ao longo do círculo unitário C (laço fechado) centrado na origem. Parametrizo C por
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t),\qquad 0\le t\le 2\pi,
então d\mathbf{r}=(-\sin t,\cos t)\,dt. Avalio \mathbf{F} na curva: para pontos do círculo r^2=1, temos
\mathbf{F}(\cos t,\sin t)=(-\sin t,\cos t).
O produto escalar é
\mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big)\cdot \mathbf{r}'(t)=(-\sin t)(- \sin t)+(\cos t)(\cos t)=\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Logo a integral de linha ao longo de C é
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi} 1\,dt = 2\pi\neq 0.
Como existe um laço fechado com integral não nula, \mathbf{F} não é conservativo em D. Isso contradiz a afirmação “rotacional nulo \Rightarrow conservativo” se não impusermos hipóteses sobre o domínio.

Passo 6

Interpretação final e moral (bem amigo): o que aconteceu foi que o rotacional realmente detecta a ausência de “vórtices” localmente, mas não vê a topologia global do domínio (buracos). Em domínios com buracos uma circulação global pode existir mesmo com rotacional zero localmente. Por isso, a afirmação original, sem hipóteses adicionais, é falsa; entretanto, se exigirmos que o domínio seja aberto e simplesmente conexo (e que as derivadas parciais de \mathbf{F} sejam contínuas), aí sim rotacional nulo implica conservativo.

Resposta

Falso.

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