Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas e justifique.
Se uma integral de linha depende do caminho, então o campo não é conservativo.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação:
“Se uma integral de linha depende do caminho, então o campo não é conservativo.”
Informações / interpretação do enunciado (peguei estas informações do próprio enunciado):
  • Há uma integral de linha do tipo \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} associada a um campo vetorial \mathbf{F}.
  • A expressão “depende do caminho” significa que existem duas curvas C_1 e C_2, com os mesmos pontos inicial e final, tais que \int_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \neq \int_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
  • A tarefa é decidir se a afirmação acima é verdadeira ou falsa e justificar rigorosamente.

Passo 2

Definição básica da integral de linha (passo didático): seja \mathbf{F}:\Omega\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n um campo vetorial e seja C uma curva suave parametrizada por \mathbf{r}:[a,b]\to\Omega. A integral de linha de \mathbf{F} ao longo de C é
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Aqui:
  • \mathbf{r}(t) é a posição ao longo da curva,
  • \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade,
  • \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) é o produto escalar ponto a ponto.
Explicando em palavras: a integral soma (integral) as contribuições infinitesimais \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo da curva.

Passo 3

Definição de campo conservativo e propriedade principal (aqui ensino o teorema usado):
  • Dizemos que um campo \mathbf{F} é conservativo em um domínio \Omega se existe uma função escalar f:\Omega\to\mathbb{R} (chamada potencial) tal que
    \mathbf{F} = \nabla f.
    Ou seja, cada componente de \mathbf{F} é derivada parcial correspondente de f.
  • Propriedade fundamental (Teorema fundamental das integrais de linha): se \mathbf{F}=\nabla f em \Omega e C é uma curva suave de \mathbf{r}(a)=A até \mathbf{r}(b)=B inteiramente contida em \Omega, então
    \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f(B)-f(A).
    Note que o lado direito depende apenas dos pontos finais A e B, não do caminho específico C.
Expliquei porque isso vale: derivada composta dá \dfrac{d}{dt} f(\mathbf{r}(t)) = \nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t), integremos de a a b e aplique o teorema fundamental do cálculo.

Passo 4

Raciocínio lógico direto (contraposição/contradição) que responde à afirmação:
  • Se \mathbf{F} é conservativo, então, pela propriedade do passo anterior, para quaisquer duas curvas C_1 e C_2 que liguem o mesmo ponto A a B em \Omega vale
    \int_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f(B)-f(A) = \int_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
    Ou seja, para um campo conservativo as integrais de linha entre os mesmos extremos são necessariamente independentes do caminho.
  • Tomemos a negação: “a integral de linha depende do caminho” significa que existem C_1 e C_2 com mesmos extremos tal que
    \int_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \neq \int_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
    Isso entra em contradição com a propriedade acima se \mathbf{F} fosse conservativo. Logo \mathbf{F} não pode ser conservativo.
  • Em termos lógicos, como a implicação “se conservativo então integrals são independentes” é verdadeira, a contrapositiva “se existe dependência do caminho então não é conservativo” também é verdadeira. Portanto a afirmação do enunciado é verdadeira.

Passo 5

Observação sobre sutilezas (didática para a prova, importante saber):
  • A frase “depende do caminho” foi interpretada como existência de duas curvas com os mesmos extremos e integrals diferentes. Com essa interpretação a conclusão é imediata e sem exceções: dependência implica não conservatividade.
  • Há outras observações úteis para a prova:
    • Um campo pode ter \nabla\times\mathbf{F}=0 em um domínio que não é simplesmente conectado e ainda assim ser não conservativo (ex.: campo rotacional nulo em \mathbb{R}^2\setminus\{0\} que tem integral não nula ao redor do ponto removido). Mas isso não muda a resposta: se encontrar dependência de caminho, definitivamente não é conservativo naquele domínio.
    • Em problemas de prova, sempre verifique que “dependência do caminho” se refere a caminhos com os mesmos extremos; se estiverem com extremos diferentes a comparação precisa ser feita com cuidado.

Passo 6

Exemplo concreto (para fixar a ideia):
  • Considere \mathbf{F}(x,y)=\left(-\dfrac{y}{x^2+y^2},\;\dfrac{x}{x^2+y^2}\right) definida em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
  • A integral ao longo da circunferência unitária percorrida uma volta pode ser calculada (parametrização \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t), t\in[0,2\pi]) e dá \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 2\pi.
  • Se escolhermos outro caminho entre o mesmo ponto inicial e final que não rode em torno da origem, a integral pode ser 0. Assim existem dois caminhos com mesmos extremos e integrais diferentes, mostrando dependência do caminho e, portanto, que \mathbf{F} não é conservativo no domínio considerado.
  • Esse exemplo também ilustra a sutileza do passo 5: \nabla\times\mathbf{F}=0 em \mathbb{R}^2\setminus\{0\} (fora da origem), mas o domínio não é simplesmente conectado, então \mathbf{F} não tem potencial global.

Resposta

Verdadeiro.

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