Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas e justifique.
Se uma integral de linha depende do caminho, então o campo não é conservativo.
Se uma integral de linha depende do caminho, então o campo não é conservativo.
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação:
“Se uma integral de linha depende do caminho, então o campo não é conservativo.”
Informações / interpretação do enunciado (peguei estas informações do próprio enunciado):
- Há uma integral de linha do tipo
associada a um campo vetorial . - A expressão “depende do caminho” significa que existem duas curvas
e , com os mesmos pontos inicial e final, tais que - A tarefa é decidir se a afirmação acima é verdadeira ou falsa e justificar rigorosamente.
Passo 2
Definição básica da integral de linha (passo didático): seja
um campo vetorial e seja
uma curva suave parametrizada por
. A integral de linha de
ao longo de
é
Aqui:
-
é a posição ao longo da curva, -
é o vetor velocidade, -
é o produto escalar ponto a ponto.
Explicando em palavras: a integral soma (integral) as contribuições infinitesimais
ao longo da curva.
Passo 3
Definição de campo conservativo e propriedade principal (aqui ensino o teorema usado):
-
Dizemos que um campo
é conservativo em um domínio se existe uma função escalar (chamada potencial) tal que Ou seja, cada componente deé derivada parcial correspondente de . -
Propriedade fundamental (Teorema fundamental das integrais de linha): se
em e é uma curva suave de até inteiramente contida em , então Note que o lado direito depende apenas dos pontos finaise , não do caminho específico .
Expliquei porque isso vale: derivada composta dá
, integremos de
a
e aplique o teorema fundamental do cálculo.
Passo 4
Raciocínio lógico direto (contraposição/contradição) que responde à afirmação:
-
Se
é conservativo, então, pela propriedade do passo anterior, para quaisquer duas curvas e que liguem o mesmo ponto a em vale Ou seja, para um campo conservativo as integrais de linha entre os mesmos extremos são necessariamente independentes do caminho. -
Tomemos a negação: “a integral de linha depende do caminho” significa que existem
e com mesmos extremos tal que Isso entra em contradição com a propriedade acima sefosse conservativo. Logo não pode ser conservativo. -
Em termos lógicos, como a implicação “se conservativo então integrals são independentes” é verdadeira, a contrapositiva “se existe dependência do caminho então não é conservativo” também é verdadeira. Portanto a afirmação do enunciado é verdadeira.
Passo 5
Observação sobre sutilezas (didática para a prova, importante saber):
- A frase “depende do caminho” foi interpretada como existência de duas curvas com os mesmos extremos e integrals diferentes. Com essa interpretação a conclusão é imediata e sem exceções: dependência implica não conservatividade.
- Há outras observações úteis para a prova:
- Um campo pode ter
em um domínio que não é simplesmente conectado e ainda assim ser não conservativo (ex.: campo rotacional nulo em que tem integral não nula ao redor do ponto removido). Mas isso não muda a resposta: se encontrar dependência de caminho, definitivamente não é conservativo naquele domínio. - Em problemas de prova, sempre verifique que “dependência do caminho” se refere a caminhos com os mesmos extremos; se estiverem com extremos diferentes a comparação precisa ser feita com cuidado.
- Um campo pode ter
Passo 6
Exemplo concreto (para fixar a ideia):
- Considere
definida em . - A integral ao longo da circunferência unitária percorrida uma volta pode ser calculada (parametrização
, ) e dá - Se escolhermos outro caminho entre o mesmo ponto inicial e final que não rode em torno da origem, a integral pode ser
. Assim existem dois caminhos com mesmos extremos e integrais diferentes, mostrando dependência do caminho e, portanto, que não é conservativo no domínio considerado. - Esse exemplo também ilustra a sutileza do passo 5:
em (fora da origem), mas o domínio não é simplesmente conectado, então não tem potencial global.
Resposta
Verdadeiro.