Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas e justifique.
Todo campo conservativo possui rotacional nulo.

Passo 1

O que a afirmação diz para eu classificar: “Todo campo conservativo possui rotacional nulo.”
Informações relevantes que temos do enunciado (apenas o que é pedido e o que está explícito):
  • Preciso decidir se a frase é verdadeira ou falsa.
  • A frase fala de “campo conservativo” e de “rotacional nulo” (ou seja, “curl = 0”).
    Não há outros dados no enunciado.

Passo 2

Definições necessárias (explicadas de forma bem direta):
  • Um campo vetorial \mathbf{F} é chamado conservativo se existe uma função escalar (potencial) \varphi tal que
\mathbf{F}=\nabla\varphi.
Aqui \nabla\varphi é o gradiente de \varphi; em coordenadas cartesianas em \mathbb{R}^3,
\nabla\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y},\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right).
  • O rotacional (curl) de um campo vetorial \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) é o vetor
\operatorname{curl}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\;\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).
Observação sobre hipóteses: para manipular derivadas mistas com segurança vou assumir que \varphi é pelo menos duas vezes continuamente diferenciável na região de interesse (isto é, \varphi\in C^2). Essa hipótese é padrão em exercícios e em provas quando se discute gradiente e rotacional.

Passo 3

Cálculo do rotacional de um gradiente (a conta que resolve a questão):
Se \mathbf{F}=\nabla\varphi então F_1=\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}, F_2=\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}, F_3=\dfrac{\partial\varphi}{\partial z}. Substituindo na fórmula do rotacional:
\operatorname{curl}\mathbf{F}=\left(\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right),\; \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right),\; \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)\right).
Cada componente é uma diferença de derivadas mistas, por exemplo a primeira componente é
\frac{\partial^2\varphi}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial z\partial y}.
Pelo teorema de Clairaut (igualdade das derivadas mistas), que vale quando \varphi\in C^2, essas duas derivadas mistas são iguais, logo cada componente é zero. Portanto
\operatorname{curl}\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Conclusão técnica: se \mathbf{F} é conservativo com potencial \varphi\in C^2, então seu rotacional é nulo em toda a região onde \varphi é C^2.

Passo 4

Discussão — hipóteses e contraexemplos para evitar confusão:
  • A implicação “conservativo \Rightarrow rotacional nulo” não depende da topologia do domínio: ela segue diretamente da identidade \operatorname{curl}(\nabla\varphi)=\mathbf{0} desde que o potencial exista e seja suficientemente regular ( C^2). Ou seja, a afirmação é verdadeira sob as hipóteses usuais de diferenciabilidade do potencial.
  • O caso que costuma gerar confusão é a recíproca: “rotacional nulo \Rightarrow conservativo” nem sempre é verdade sem hipóteses adicionais sobre o domínio. Para que a recíproca seja garantida costuma-se exigir que o domínio seja simplesmente conexo e que as componentes do campo tenham derivadas parciais contínuas. Exemplo clássico que mostra por que a recíproca falha numa região não simplesmente conexa: no plano retirando a origem, o campo
\mathbf{F}(x,y)=\left(-\frac{y}{x^2+y^2},\;\frac{x}{x^2+y^2},\;0\right)
tem rotacional nulo em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} (a conta com derivadas dá zero em todo ponto fora da origem), mas \mathbf{F} não é conservativo nessa região porque a integral de linha ao longo do círculo unitário é 2\pi\neq 0. Esse exemplo só serve para lembrar que a implicação no sentido oposto exige hipóteses topológicas.

Passo 5

Resposta clara ao enunciado (classificação da afirmação): a afirmação é verdadeira, com a ressalva usual de regularidade. Em linguagem curta: todo campo conservativo tem rotacional nulo (assumindo que o potencial é C^2).

Resposta

Verdadeiro.

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