Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas e justifique.
Todo campo conservativo possui rotacional nulo.
Todo campo conservativo possui rotacional nulo.
Passo 1
O que a afirmação diz para eu classificar: “Todo campo conservativo possui rotacional nulo.”
Informações relevantes que temos do enunciado (apenas o que é pedido e o que está explícito):
Informações relevantes que temos do enunciado (apenas o que é pedido e o que está explícito):
- Preciso decidir se a frase é verdadeira ou falsa.
- A frase fala de “campo conservativo” e de “rotacional nulo” (ou seja, “curl = 0”).
Não há outros dados no enunciado.
Passo 2
Definições necessárias (explicadas de forma bem direta):
- Um campo vetorial
é chamado conservativo se existe uma função escalar (potencial) tal que
Aqui
é o gradiente de
; em coordenadas cartesianas em
,
- O rotacional (curl) de um campo vetorial
é o vetor
Observação sobre hipóteses: para manipular derivadas mistas com segurança vou assumir que
é pelo menos duas vezes continuamente diferenciável na região de interesse (isto é,
). Essa hipótese é padrão em exercícios e em provas quando se discute gradiente e rotacional.
Passo 3
Cálculo do rotacional de um gradiente (a conta que resolve a questão):
Se então
,
,
. Substituindo na fórmula do rotacional:
Se
Cada componente é uma diferença de derivadas mistas, por exemplo a primeira componente é
Pelo teorema de Clairaut (igualdade das derivadas mistas), que vale quando
, essas duas derivadas mistas são iguais, logo cada componente é zero. Portanto
Conclusão técnica: se
é conservativo com potencial
, então seu rotacional é nulo em toda a região onde
é
.
Passo 4
Discussão — hipóteses e contraexemplos para evitar confusão:
- A implicação “conservativo
rotacional nulo” não depende da topologia do domínio: ela segue diretamente da identidade desde que o potencial exista e seja suficientemente regular ( ). Ou seja, a afirmação é verdadeira sob as hipóteses usuais de diferenciabilidade do potencial. - O caso que costuma gerar confusão é a recíproca: “rotacional nulo
conservativo” nem sempre é verdade sem hipóteses adicionais sobre o domínio. Para que a recíproca seja garantida costuma-se exigir que o domínio seja simplesmente conexo e que as componentes do campo tenham derivadas parciais contínuas. Exemplo clássico que mostra por que a recíproca falha numa região não simplesmente conexa: no plano retirando a origem, o campo
tem rotacional nulo em
(a conta com derivadas dá zero em todo ponto fora da origem), mas
não é conservativo nessa região porque a integral de linha ao longo do círculo unitário é
. Esse exemplo só serve para lembrar que a implicação no sentido oposto exige hipóteses topológicas.
Passo 5
Resposta clara ao enunciado (classificação da afirmação): a afirmação é verdadeira, com a ressalva usual de regularidade. Em linguagem curta: todo campo conservativo tem rotacional nulo (assumindo que o potencial é
).
Resposta
Verdadeiro.