Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta:
\(U=\left\{(x, y, z) \in R^{3} \mid x y+z=0\right\} é um subespaço vetorial de)R^{3}$.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto U e pede para classificarmos a afirmação " U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x y+z=0\right\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} " como verdadeira ou falsa, justificando.
Informações fornecidas: U é o conjunto de todos os vetores (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 que satisfazem a equação x y+z=0.
Pergunta explícita: a propriedade "ser subespaço vetorial de \mathbb{R}^3" vale para esse U ou não?

Passo 2

O que precisamos checar para decidir isso? Vou ensinar a regra de forma direta e sem enrolação. Para um subconjunto U\subseteq\mathbb{R}^3 ser um subespaço vetorial, três condições equivalentes e práticas costumam ser usadas (vou explicar cada uma):
  1. U contém o vetor zero.
  2. U é fechado sob soma: se u\in U e v\in U, então u+v\in U.
  3. U é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in U e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda u\in U.
Se qualquer uma dessas falhar, U não é subespaço. Essas condições vêm diretamente das propriedades de espaço vetorial: o vetor zero deve estar lá, e operações do espaço precisam manter você dentro do conjunto. Vou usar essas condições para testar U.

Passo 3

Teste do vetor zero. Verificamos se (0,0,0) pertence a U. Substituindo na equação:
0\cdot 0 + 0 = 0.
Portanto (0,0,0)\in U. Ótimo — essa condição não descarta U. Mas lembrar: ter o zero dentro é necessário, mas não suficiente.

Passo 4

Teste de fechamento por multiplicação escalar com dedução algébrica (a parte teórica importante).
Se (x,y,z)\in U, então por definição temos
x y + z = 0.
Agora pegue um escalar \lambda\in\mathbb{R} e considere o vetor \lambda (x,y,z) = (\lambda x,\lambda y,\lambda z). Para que U seja fechado por escalares, deve valer
(\lambda x)(\lambda y)+\lambda z = 0
para todo \lambda. Calculando o lado esquerdo:
(\lambda x)(\lambda y)+\lambda z = \lambda^2 x y + \lambda z.
Como z = -xy (da condição original), substituímos:
\lambda^2 x y + \lambda(-x y) = x y (\lambda^2 - \lambda) = x y \lambda(\lambda-1).
Para que isso seja sempre 0 para todo \lambda, precisaríamos que x y \lambda(\lambda-1)=0 para todo \lambda. Mas isso não é verdade em geral: escolha, por exemplo, um vetor com x y \neq 0 e escolha \lambda tal que \lambda\neq 0 e \lambda\neq 1; então o produto não será zero. Isso indica que, em geral, \lambda(x,y,z)\not\in U. Portanto a propriedade de fechamento por escalares falha em geral.

Passo 5

Contraexemplo numérico explícito (isso costuma funcionar muito bem na prova — um contraexemplo basta). Tome
(x,y,z) = (1,1,-1).
Verificação de que (1,1,-1)\in U:
1\cdot 1 + (-1) = 1-1 = 0,
logo está em U. Agora escolha o escalar \lambda=2. Multiplicando,
2(x,y,z) = (2,2,-2).
Teste se (2,2,-2)\in U:
2\cdot 2 + (-2) = 4-2 = 2 \neq 0.
Logo (2,2,-2)\notin U. Achamos um vetor em U cuja múltiplo por escalar não está em U. Isso basta para concluir que U não é um subespaço.

Passo 6

Para reforçar a intuição, mostro também que a soma pode falhar (outro contraexemplo simples). Considere
u=(1,0,0)\in U\quad\text{pois}\quad 1\cdot 0 + 0 = 0,
v=(0,1,0)\in U\quad\text{pois}\quad 0\cdot 1 + 0 = 0.
A soma é u+v=(1,1,0). Teste:
1\cdot 1 + 0 = 1 \neq 0,
então u+v\notin U. Assim, U também não é fechado sob soma. Dois contraexemplos, duas vistas diferentes do mesmo problema — ambos mostram que U não satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 7

Conclusão e interpretação rápida: a equação x y + z = 0 define uma superfície no espaço (uma “superfície quadrática” no sentido que o termo xy é produto de duas coordenadas). Subespaços vetoriais de \mathbb{R}^3 são planos que passam pela origem (linhas que passam pela origem) ou subespaços triviais; esses são fechados por escalares e adição linear. A presença do termo xy (produto das coordenadas) quebra a linearidade — por isso não é subespaço.

Resposta

Falso

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