Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta:
é um subespaço vetorial de)R^{3}$.
é um subespaço vetorial de)R^{3}$.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para classificarmos a afirmação "
é um subespaço vetorial de
" como verdadeira ou falsa, justificando.
Informações fornecidas: é o conjunto de todos os vetores
que satisfazem a equação
.
Pergunta explícita: a propriedade "ser subespaço vetorial de " vale para esse
ou não?
Informações fornecidas:
Pergunta explícita: a propriedade "ser subespaço vetorial de
Passo 2
O que precisamos checar para decidir isso? Vou ensinar a regra de forma direta e sem enrolação. Para um subconjunto
ser um subespaço vetorial, três condições equivalentes e práticas costumam ser usadas (vou explicar cada uma):
-
contém o vetor zero. -
é fechado sob soma: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Se qualquer uma dessas falhar,
não é subespaço. Essas condições vêm diretamente das propriedades de espaço vetorial: o vetor zero deve estar lá, e operações do espaço precisam manter você dentro do conjunto. Vou usar essas condições para testar
.
Passo 3
Teste do vetor zero. Verificamos se
pertence a
. Substituindo na equação:
Portanto
. Ótimo — essa condição não descarta
. Mas lembrar: ter o zero dentro é necessário, mas não suficiente.
Passo 4
Teste de fechamento por multiplicação escalar com dedução algébrica (a parte teórica importante).
Se , então por definição temos
Se
Agora pegue um escalar
e considere o vetor
. Para que
seja fechado por escalares, deve valer
para todo
. Calculando o lado esquerdo:
Como
(da condição original), substituímos:
Para que isso seja sempre
para todo
, precisaríamos que
para todo
. Mas isso não é verdade em geral: escolha, por exemplo, um vetor com
e escolha
tal que
e
; então o produto não será zero. Isso indica que, em geral,
. Portanto a propriedade de fechamento por escalares falha em geral.
Passo 5
Contraexemplo numérico explícito (isso costuma funcionar muito bem na prova — um contraexemplo basta). Tome
Verificação de que
:
logo está em
. Agora escolha o escalar
. Multiplicando,
Teste se
:
Logo
. Achamos um vetor em
cuja múltiplo por escalar não está em
. Isso basta para concluir que
não é um subespaço.
Passo 6
Para reforçar a intuição, mostro também que a soma pode falhar (outro contraexemplo simples). Considere
A soma é
. Teste:
então
. Assim,
também não é fechado sob soma. Dois contraexemplos, duas vistas diferentes do mesmo problema — ambos mostram que
não satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 7
Conclusão e interpretação rápida: a equação
define uma superfície no espaço (uma “superfície quadrática” no sentido que o termo
é produto de duas coordenadas). Subespaços vetoriais de
são planos que passam pela origem (linhas que passam pela origem) ou subespaços triviais; esses são fechados por escalares e adição linear. A presença do termo
(produto das coordenadas) quebra a linearidade — por isso não é subespaço.
Resposta
Falso