Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta:
Se N é um espaço vetorial de dimensão finita, U e W são dois subespaços vetoriais de V . Se
e
, então
.
Se N é um espaço vetorial de dimensão finita, U e W são dois subespaços vetoriais de V . Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um espaço vetorial de dimensão finita. -
e são subespaços de . -
. -
. -
.
O que se pede: decidir se a afirmação "então
" é verdadeira ou falsa e justificar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar com clareza o que significa
. Por definição,
significa duas coisas ao mesmo tempo:
-
(ou seja, todo pode ser escrito como com e ); e -
(a interseção é somente o vetor nulo), o que garante unicidade dessa escrita.
No enunciado já temos a condição (2):
. Mas para concluir
precisamos também da condição (1). A afirmação dada presume que (2) e os valores de dimensão implicam (1); precisamos verificar se isso é sempre verdade.
Passo 3
Uma ferramenta muito útil para analisar somas de subespaços é a fórmula das dimensões: para subespaços
e
de um espaço vetorial finito,
Explico rapidamente por que essa fórmula é plausível (modo didático): pegue uma base de
, estenda-a a uma base de
adicionando vetores suficientes, estenda-a também a uma base de
; a união dessas extensões forma uma base de
. Contando vetores obtemos a fórmula acima. Cada termo significa:
-
= número de vetores em uma base de ; -
= número de vetores em uma base de ; -
= número de vetores “contados duas vezes” quando somamos , por isso subtraímos.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso, como
temos
. Então
Portanto
é
, que é pelo menos
porque
. Mas isso não garante que
. Se
for maior que
, então
é um subespaço próprio de
e não igual a
.
Passo 5
Vou dar um contraexemplo concreto e simples (modo que você pode usar na prova): tome
. Defina
Aqui
,
, e
(não há vetor não nulo comum). Contudo
tem dimensão
, logo
pois
. Portanto
neste exemplo. Isso mostra que a afirmação do enunciado é falsa em geral.
Passo 6
Conclusão didática e dica de prova: a condição necessária e suficiente para
(quando
é finito dimensional) é
ou equivalentemente
com interseção nula. Em prova rápida, se te derem só
e
e a interseção nula, calcule
e compare com
; só então podes concluir que a soma é todo
.
Resposta
Falso.