Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta:
Se N é um espaço vetorial de dimensão finita, U e W são dois subespaços vetoriais de V . Se \operatorname{dim} \mathrm{U}=1, \operatorname{dim} \mathrm{~W} \geq 1 e \mathrm{U} \cap \mathrm{W}={0}, então \mathrm{V}=\mathrm{U} \oplus \mathrm{W}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • V é um espaço vetorial de dimensão finita.
  • U e W são subespaços de V.
  • \dim U = 1.
  • \dim W \ge 1.
  • U \cap W = \{0\}.
O que se pede: decidir se a afirmação "então V = U \oplus W" é verdadeira ou falsa e justificar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar com clareza o que significa V = U \oplus W. Por definição,
V = U \oplus W significa duas coisas ao mesmo tempo:
  1. U + W = V (ou seja, todo v\in V pode ser escrito como v = u + w com u\in U e w\in W); e
  2. U \cap W = \{0\} (a interseção é somente o vetor nulo), o que garante unicidade dessa escrita.
No enunciado já temos a condição (2): U \cap W = \{0\}. Mas para concluir V = U \oplus W precisamos também da condição (1). A afirmação dada presume que (2) e os valores de dimensão implicam (1); precisamos verificar se isso é sempre verdade.

Passo 3

Uma ferramenta muito útil para analisar somas de subespaços é a fórmula das dimensões: para subespaços U e W de um espaço vetorial finito,
\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U\cap W).
Explico rapidamente por que essa fórmula é plausível (modo didático): pegue uma base de U\cap W, estenda-a a uma base de U adicionando vetores suficientes, estenda-a também a uma base de W; a união dessas extensões forma uma base de U+W. Contando vetores obtemos a fórmula acima. Cada termo significa:
  • \dim U = número de vetores em uma base de U;
  • \dim W = número de vetores em uma base de W;
  • \dim(U\cap W) = número de vetores “contados duas vezes” quando somamos \dim U + \dim W, por isso subtraímos.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso, como U\cap W=\{0\} temos \dim(U\cap W)=0. Então
\dim(U+W) = \dim U + \dim W = 1 + \dim W.
Portanto \dim(U+W) é 1+\dim W, que é pelo menos 2 porque \dim W\ge 1. Mas isso não garante que \dim(U+W)=\dim V. Se \dim V for maior que 1+\dim W, então U+W é um subespaço próprio de V e não igual a V.

Passo 5

Vou dar um contraexemplo concreto e simples (modo que você pode usar na prova): tome V=\mathbb{R}^3. Defina
U = \operatorname{span}\{(1,0,0)\},\qquad W = \operatorname{span}\{(0,1,0)\}.
Aqui \dim U = 1, \dim W = 1, e U\cap W=\{0\} (não há vetor não nulo comum). Contudo
U+W = \{(a,b,0)\mid a,b\in\mathbb{R}\}
tem dimensão 2, logo U+W\neq V pois \dim V = 3. Portanto V \neq U \oplus W neste exemplo. Isso mostra que a afirmação do enunciado é falsa em geral.

Passo 6

Conclusão didática e dica de prova: a condição necessária e suficiente para V=U\oplus W (quando V é finito dimensional) é
\dim(U)+\dim(W)=\dim(V)\quad\text{e}\quad U\cap W=\{0\},
ou equivalentemente \dim(U+W)=\dim V com interseção nula. Em prova rápida, se te derem só \dim U e \dim W e a interseção nula, calcule \dim(U+W)=\dim U+\dim W e compare com \dim V; só então podes concluir que a soma é todo V.

Resposta

Falso.

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