Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta:
Um espaço vetorial de dimensão 2 pode ser gerado por um conjunto com 3 vetores.

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique como verdadeiro ou falso a afirmação: “Um espaço vetorial de dimensão 2 pode ser gerado por um conjunto com 3 vetores.”\n
Informações dadas:
  • Temos um espaço vetorial V com \dim V=2.
  • A afirmação fala sobre a existência (ou possibilidade) de um conjunto de 3 vetores que gera V (ou seja, cujo fecho linear é todo V).

Passo 2

Definição importante: o que significa “gerar” um espaço vetorial.\n
Se S é um subconjunto de V, dizemos que S gera V (ou S é um conjunto gerador) quando
\operatorname{span}(S)=\{\,c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k \mid k\in\mathbb{N},\; v_i\in S,\; c_i\in\mathbb{F}\,\}=V.
Aqui \mathbb{F} é o corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Isso quer dizer que todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear de vetores de S.

Passo 3

Definição importante: dimensão e base.\n
A dimensão de V é o número de vetores em qualquer base de V. Uma base é um conjunto \{b_1,b_2,\dots,b_n\} que gera V e cujos vetores são linearmente independentes. Se \dim V=2, então existe uma base com exatamente dois vetores e todo conjunto gerador mínimo (isto é, sem vetores redundantes) contém exatamente dois vetores.

Passo 4

Teorema útil sobre dependência linear em espaços finito-dimensionais (enunciado e interpretação).\n
Em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente linearmente dependente. Ou seja, em V com \dim V=2, qualquer conjunto com 3 vetores é linearmente dependente: existem escalares não todos nulos tais que uma combinação linear deles é o vetor nulo. Importante: linearmente dependente não impede que o conjunto ainda gere o espaço — apenas mostra que há redundância.

Passo 5

Contraexemplo concreto em \mathbb{R}^2 — mostra existência.\n
Considere V=\mathbb{R}^2 (que tem dimensão 2). Tome o conjunto
S=\{(1,0),(0,1),(1,1)\}.
Mostro que S gera \mathbb{R}^2. Seja (x,y)\in\mathbb{R}^2. Então
(x,y)=x\,(1,0)+y\,(0,1),
ou seja, (x,y) é combinação linear de (1,0) e (0,1), que pertencem a S. Logo \operatorname{span}(S)=\mathbb{R}^2. Assim existe, de fato, um conjunto com 3 vetores que gera o espaço de dimensão 2. Observação: nesse exemplo os três vetores são linearmente dependentes, pois
(1,1)=(1,0)+(0,1),
mostrando a redundância.

Passo 6

Argumento geral para qualquer espaço V com \dim V=2.\n
Seja \{b_1,b_2\} uma base de V. Considere qualquer vetor b_3\in V (pode ser, por exemplo, b_1+b_2 ou qualquer outro). O conjunto
S=\{b_1,b_2,b_3\}
contém b_1 e b_2, portanto \operatorname{span}(S) contém \operatorname{span}(\{b_1,b_2\})=V. Assim \operatorname{span}(S)=V. Logo, para todo espaço vetorial de dimensão 2 existe um conjunto com 3 vetores que gera o espaço. Em paralelo, por já citado, qualquer conjunto com 3 vetores em V será linearmente dependente — mas isso não impede que gere V.

Passo 7

Conclusão e interpretação final (motivacional rápido).\n
Portanto a afirmação é verdadeira: espaços de dimensão 2 podem ser gerados por conjuntos com 3 vetores (esses conjuntos serão, necessariamente, redundantes/linearmente dependentes, mas ainda assim geradores). Você pode sempre construir um exemplo pegando uma base de dois vetores e acrescentando um terceiro qualquer — pronto, tem um gerador com três vetores. Tá conseguido — respira e bora estudar o próximo exercício!

Resposta

Verdadeiro

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