Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta:
Um espaço vetorial de dimensão 2 pode ser gerado por um conjunto com 3 vetores.
Um espaço vetorial de dimensão 2 pode ser gerado por um conjunto com 3 vetores.
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique como verdadeiro ou falso a afirmação: “Um espaço vetorial de dimensão 2 pode ser gerado por um conjunto com 3 vetores.”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Temos um espaço vetorial
com . - A afirmação fala sobre a existência (ou possibilidade) de um conjunto de
vetores que gera (ou seja, cujo fecho linear é todo ).
Passo 2
Definição importante: o que significa “gerar” um espaço vetorial.\n
Se é um subconjunto de
, dizemos que
gera
(ou
é um conjunto gerador) quando
Se
Aqui
é o corpo (por exemplo
ou
). Isso quer dizer que todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear de vetores de
.
Passo 3
Definição importante: dimensão e base.\n
A dimensão de é o número de vetores em qualquer base de
. Uma base é um conjunto
que gera
e cujos vetores são linearmente independentes. Se
, então existe uma base com exatamente dois vetores e todo conjunto gerador mínimo (isto é, sem vetores redundantes) contém exatamente dois vetores.
A dimensão de
Passo 4
Teorema útil sobre dependência linear em espaços finito-dimensionais (enunciado e interpretação).\n
Em um espaço vetorial de dimensão , qualquer conjunto com mais de
vetores é necessariamente linearmente dependente. Ou seja, em
com
, qualquer conjunto com
vetores é linearmente dependente: existem escalares não todos nulos tais que uma combinação linear deles é o vetor nulo. Importante: linearmente dependente não impede que o conjunto ainda gere o espaço — apenas mostra que há redundância.
Em um espaço vetorial de dimensão
Passo 5
Contraexemplo concreto em
— mostra existência.\n
Considere (que tem dimensão
). Tome o conjunto
Considere
Mostro que
gera
. Seja
. Então
ou seja,
é combinação linear de
e
, que pertencem a
. Logo
. Assim existe, de fato, um conjunto com
vetores que gera o espaço de dimensão
. Observação: nesse exemplo os três vetores são linearmente dependentes, pois
mostrando a redundância.
Passo 6
Argumento geral para qualquer espaço
com
.\n
Seja uma base de
. Considere qualquer vetor
(pode ser, por exemplo,
ou qualquer outro). O conjunto
Seja
contém
e
, portanto
contém
. Assim
. Logo, para todo espaço vetorial de dimensão
existe um conjunto com
vetores que gera o espaço. Em paralelo, por já citado, qualquer conjunto com
vetores em
será linearmente dependente — mas isso não impede que gere
.
Passo 7
Conclusão e interpretação final (motivacional rápido).\n
Portanto a afirmação é verdadeira: espaços de dimensão podem ser gerados por conjuntos com
vetores (esses conjuntos serão, necessariamente, redundantes/linearmente dependentes, mas ainda assim geradores). Você pode sempre construir um exemplo pegando uma base de dois vetores e acrescentando um terceiro qualquer — pronto, tem um gerador com três vetores. Tá conseguido — respira e bora estudar o próximo exercício!
Portanto a afirmação é verdadeira: espaços de dimensão
Resposta
Verdadeiro