Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta:
\(U=\left\{(x, y, z) \in R^{3} \mid x-y+z-1=0\right\} é um subespaço vetorial de)R^{3}$.

Passo 1

O enunciado pede para classificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando:
U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x - y + z - 1 = 0\}
É solicitado verificar se U é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. A informação dada é apenas a equação que define U.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar claramente o que significa ser um subespaço vetorial (sem pular etapas). Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço vetorial se e somente se as três propriedades abaixo são verdadeiras:
  1. W contém o vetor zero, isto é, \mathbf{0}=(0,0,0)\in W.
  2. W é fechado sob adição: se \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se \mathbf{u}\in W e c\in\mathbb{R}, então c\mathbf{u}\in W.
Essas condições vêm da definição de subespaço (um subespaço precisa ser um espaço vetorial com as mesmas operações restritas). Uma forma prática: bastam verificar que \mathbf{0}\in W e que W é fechado para somas e multiplicações por escalares; se qualquer uma falhar, W não é subespaço.

Passo 3

Vamos verificar a condição do vetor zero. Substituímos \mathbf{0}=(0,0,0) na equação que define U:
0 - 0 + 0 - 1 = -1 \neq 0.
Portanto \mathbf{0}\notin U.

Passo 4

Por que isso já é suficiente? Se o vetor zero não pertence ao conjunto, então o conjunto não pode ser subespaço vetorial, pois todo subespaço necessariamente contém o vetor zero (é consequência das propriedades de espaço vetorial: 0\cdot \mathbf{u}=\mathbf{0} para qualquer \mathbf{u}, então se \mathbf{u}\in W e W fechado por escalares, o zero precisa estar em W). Logo, a falha em conter \mathbf{0} implica imediatamente que U não é subespaço.

Passo 5

Para reforçar a compreensão (e aprender a testar na hora da prova), podemos também mostrar explicitamente que U não é fechado sob adição. Observe que qualquer (x,y,z)\in U satisfaz
x - y + z = 1.
Tome dois vetores quaisquer em U, digamos (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2). Então
x_1 - y_1 + z_1 = 1,\qquad x_2 - y_2 + z_2 = 1.
Somando essas igualdades obtemos
(x_1+x_2) - (y_1+y_2) + (z_1+z_2) = 2.
Então para o vetor soma (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) a expressão x-y+z-1 vale
2 - 1 = 1 \neq 0,
portanto a soma não satisfaz a equação definidora de U e assim \mathbf{u}+\mathbf{v}\notin U. Conclusão: U não é fechado sob adição.

Passo 6

Também podemos ver falha na multiplicação escalar. Se \mathbf{u}=(x,y,z)\in U, então x-y+z=1. Para um escalar c\in\mathbb{R} temos
c\mathbf{u}=(cx,cy,cz)
e
(cx)-(cy)+(cz) = c(x-y+z) = c\cdot 1 = c.
Para c\mathbf{u} pertencer a U seria necessário c-1=0, ou seja c=1. Como isso não vale para todo escalar c, U não é fechado sob multiplicação por escalares (por exemplo, 2\mathbf{u}\notin U para qualquer \mathbf{u}\in U). Assim a propriedade de fechamento por escalares falha também.

Passo 7

Resumindo de forma intuitiva: a equação x-y+z-1=0 define um plano afim em \mathbb{R}^3 que não passa pela origem (o termo constante -1 desloca o plano). Subespaços vetoriais que são planos em \mathbb{R}^3 devem passar pela origem; como este não passa, ele não é subespaço. Já vimos isso de três maneiras: o vetor zero não pertence a U, a soma de dois vetores de U pode não ficar em U, e a multiplicação por escalares falha.

Resposta

Falso.

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