Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta:
é um subespaço vetorial de)R^{3}$.
é um subespaço vetorial de)R^{3}$.
Passo 1
O enunciado pede para classificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando:
É solicitado verificar se
é um subespaço vetorial de
. A informação dada é apenas a equação que define
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar claramente o que significa ser um subespaço vetorial (sem pular etapas). Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se as três propriedades abaixo são verdadeiras:
-
contém o vetor zero, isto é, . -
é fechado sob adição: se e , então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e , então .
Essas condições vêm da definição de subespaço (um subespaço precisa ser um espaço vetorial com as mesmas operações restritas). Uma forma prática: bastam verificar que
e que
é fechado para somas e multiplicações por escalares; se qualquer uma falhar,
não é subespaço.
Passo 3
Vamos verificar a condição do vetor zero. Substituímos
na equação que define
:
Portanto
.
Passo 4
Por que isso já é suficiente? Se o vetor zero não pertence ao conjunto, então o conjunto não pode ser subespaço vetorial, pois todo subespaço necessariamente contém o vetor zero (é consequência das propriedades de espaço vetorial:
para qualquer
, então se
e
fechado por escalares, o zero precisa estar em
). Logo, a falha em conter
implica imediatamente que
não é subespaço.
Passo 5
Para reforçar a compreensão (e aprender a testar na hora da prova), podemos também mostrar explicitamente que
não é fechado sob adição. Observe que qualquer
satisfaz
Tome dois vetores quaisquer em
, digamos
e
. Então
Somando essas igualdades obtemos
Então para o vetor soma
a expressão
vale
portanto a soma não satisfaz a equação definidora de
e assim
. Conclusão:
não é fechado sob adição.
Passo 6
Também podemos ver falha na multiplicação escalar. Se
, então
. Para um escalar
temos
e
Para
pertencer a
seria necessário
, ou seja
. Como isso não vale para todo escalar
,
não é fechado sob multiplicação por escalares (por exemplo,
para qualquer
). Assim a propriedade de fechamento por escalares falha também.
Passo 7
Resumindo de forma intuitiva: a equação
define um plano afim em
que não passa pela origem (o termo constante
desloca o plano). Subespaços vetoriais que são planos em
devem passar pela origem; como este não passa, ele não é subespaço. Já vimos isso de três maneiras: o vetor zero não pertence a
, a soma de dois vetores de
pode não ficar em
, e a multiplicação por escalares falha.
Resposta
Falso.