Classifique cada uma das afirmações como verdadeira (V) ou falsa (F).
5,666 \ldots \in \mathbb{Q}

Passo 1

O que o enunciado pede: classificar se a afirmação “ 5,666\ldots \in \mathbb{Q}” é verdadeira ou falsa. Informação dada (do enunciado): a notação “ 5,666\ldots” significa o número decimal com infinitas repetições do algarismo 6 depois da vírgula, i.e. 5,\overline{6}.

Passo 2

O que é necessário mostrar para concluir que a afirmação é verdadeira: lembrar a definição de número racional. Um número é racional quando pode ser escrito como uma fração
\frac{p}{q}
onde p e q são inteiros e q\neq0. Então, se conseguirmos expressar 5,666\ldots na forma \dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}, teremos mostrado que ele pertence a \mathbb{Q}.

Passo 3

Método padrão para transformar uma dízima periódica em fração (vai ser a técnica que você pode usar na prova). Seja
x = 5,666\ldots
Como o período tem comprimento 1 (só o dígito 6 se repete), multiplica-se por 10:
10x = 56,666\ldots
Agora subtrai x de 10x para eliminar a parte periódica:
10x - x = 56,666\ldots - 5,666\ldots
À direita, as partes repetidas ,666\ldots cancelam, sobrando apenas:
9x = 51.
Resolve-se para x:
x = \frac{51}{9}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 3:
x = \frac{17}{3}.
Aqui 17 e 3 são inteiros e 3\neq0, portanto x está escrito na forma \dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}. Logo x\in\mathbb{Q}.

Passo 4

Comentário adicional curto e útil para a prova: qualquer dízima periódica como a,b_1b_2\ldots b_k\overline{c_1c_2\ldots c_m} é racional; o procedimento é o mesmo: multiplicar por 10^m (onde m é o comprimento do período) e subtrair para eliminar a parte periódica. Exemplos simples que ajudam a memorizar: 0,\overline{3}=\dfrac{1}{3}, 0,\overline{6}=\dfrac{2}{3} (logo 5,\overline{6}=5+\dfrac{2}{3}=\dfrac{17}{3}).

Resposta

V

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