1. Classifique cada sequência como (C) crescente, (D) decrescente ou (N) nem crescente nem decrescente.
    qquad \{2 n\}
    \left{2^{-n}\right})
    qquad \left\{\frac{5-n}{n^{2}}\right\} \quad \longrightarrow\left\{\frac{-1}{n^{2}}\right\}
    qquad \left\{\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada sequência \{a_n\} como crescente (C), decrescente (D) ou nem crescente nem decrescente (N). O conteúdo aqui é monotonicidade de sequências, que vamos testar comparando a_{n+1} e a_n ou usando propriedades de sequências lineares e geométricas.

Passo 2

Lembrando que \{a_n\} é
– crescente se, para todo n,
a_{n+1}\ge a_n,
– estritamente crescente se a_{n+1}>a_n,
– decrescente se a_{n+1}\le a_n,
– estritamente decrescente se a_{n+1}<a_n.
Se não satisfaz nem a condição crescente nem a decrescente em toda parte, dizemos que é (N).

Passo 3

Para a_n=2n, temos
a_{n+1}-a_n=2(n+1)-2n=2>0\quad\forall n.
Como a_{n+1}>a_n sempre, a sequência é estritamente crescente, logo (C).

Passo 4

Para b_n=2^{-n} vemos que é uma progressão geométrica com razão q=2^{-1}=\tfrac12. Como 0<q<1, cada termo é menor que o anterior, isto é,
b_{n+1}=2^{-(n+1)}=\tfrac12\cdot2^{-n}<2^{-n}=b_n.
Portanto é estritamente decrescente, logo (D).

Passo 5

Para c_n=\frac{5-n}{n^2}, calculamos a diferença
c_{n+1}-c_n =\frac{5-(n+1)}{(n+1)^2}-\frac{5-n}{n^2} =\frac{(4-n)n^2-(5-n)(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} =\frac{n^2-9n-5}{n^2(n+1)^2}.
O denominador é sempre positivo, mas o numerador n^2-9n-5 muda de sinal (é negativo para 1\le n\le9 e positivo para n\ge10). Logo há índices em que c_{n+1}<c_n e outros em que c_{n+1}>c_n, de modo que não é nem crescente nem decrescente: (N).

Passo 6

Para d_n=\frac{(-1)^n}{n^2}, os termos alternam de sinal (por exemplo d_1=-1, d_2=+\tfrac14, d_3=-\tfrac1{9}, …), de modo que às vezes aumenta, às vezes diminui. Logo também é (N).

Resposta

\{2n\}: C \{2^{-n}\}: D \{\,(5-n)/n^2\}: N \{(-1)^n/n^2\}: N

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