- Classifique cada sequência como (C) crescente, (D) decrescente ou (N) nem crescente nem decrescente.
\left{2^{-n}\right})
\left{2^{-n}\right})
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada sequência
como crescente (C), decrescente (D) ou nem crescente nem decrescente (N). O conteúdo aqui é monotonicidade de sequências, que vamos testar comparando
e
ou usando propriedades de sequências lineares e geométricas.
Passo 2
Lembrando que
é
– crescente se, para todo ,
– crescente se, para todo
– estritamente crescente se
,
– decrescente se ,
– estritamente decrescente se .
Se não satisfaz nem a condição crescente nem a decrescente em toda parte, dizemos que é (N).
– decrescente se
– estritamente decrescente se
Se não satisfaz nem a condição crescente nem a decrescente em toda parte, dizemos que é (N).
Passo 3
Para
, temos
Como
sempre, a sequência é estritamente crescente, logo (C).
Passo 4
Para
vemos que é uma progressão geométrica com razão
. Como
, cada termo é menor que o anterior, isto é,
Portanto é estritamente decrescente, logo (D).
Passo 5
Para
, calculamos a diferença
O denominador é sempre positivo, mas o numerador
muda de sinal (é negativo para
e positivo para
). Logo há índices em que
e outros em que
, de modo que não é nem crescente nem decrescente: (N).
Passo 6
Para
, os termos alternam de sinal (por exemplo
,
,
, …), de modo que às vezes aumenta, às vezes diminui. Logo também é (N).