1. (a) Use um recurso computacional para gerar o gráfico da equação y=\left(2^{x}+3^{x}\right)^{1 / x} e, então, use-o para fazer uma conjectura sobre o limite da sequência
\left\{\left(2^{n}+3^{n}\right)^{1 / n}\right\}_{n=1}^{+\infty}
(b) Confirme sua conjectura calculando o limite.

Passo 1

O enunciado nos pede duas coisas: (a) traçar o gráfico da função
y = \bigl(2^{x} + 3^{x}\bigr)^{1/x}
para valores reais de x e, com base nesse gráfico, conjecturar o valor de
a_n = \bigl(2^{n} + 3^{n}\bigr)^{1/n}
quando n\to+\infty; (b) confirmar essa conjectura calculando analiticamente \lim_{n\to\infty}a_n. O conteúdo necessário envolve propriedades de limites e a ideia de que, em somas de potências, o termo de maior base domina.

Passo 2

Ao usar um software (por exemplo, GeoGebra, Desmos ou Python) para plotar
y(x) = \bigl(2^{x} + 3^{x}\bigr)^{1/x}
em um intervalo como 1\le x\le 20, observa-se que a curva rapidamente se aproxima de um valor fixo em torno de 3. Portanto, a conjectura natural é
\lim_{n\to\infty}\bigl(2^{n} + 3^{n}\bigr)^{1/n} = 3.

Passo 3

Para confirmar, calcule
\lim_{n\to\infty}\bigl(2^{n}+3^{n}\bigr)^{1/n}.
Escreva
2^{n}+3^{n} = 3^{n}\Bigl(1 + \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}\Bigr),
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\bigl(2^{n}+3^{n}\bigr)^{1/n} = 3 \,\Bigl(1 + \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}\Bigr)^{1/n}.
Como \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}\to 0, temos
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}\Bigr)^{1/n} = 1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\bigl(2^{n}+3^{n}\bigr)^{1/n} = 3 \times 1 = 3.

Resposta

(a) A partir do gráfico, conjecturamos que o limite é 3.
(b) Calculando analiticamente, confirmamos que
\lim_{n\to\infty}\bigl(2^{n}+3^{n}\bigr)^{1/n} = 3.

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