Classifique cada sequência como (C) crescente, (D) decrescente ou (N) nem crescente nem decrescente.
2. Classifique cada sequência como (M) monótona, (E) estritamente monótona ou (\mathrm{N}) não monótona.
qquad \left\{n+(-1)^{n}\right\} qquad \left\{2 n+(-1)^{n}\right\}
qquad \left\{3 n+(-1)^{n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para cada uma das sequências \{n+(-1)^n\}, \{2n+(-1)^n\} e \{3n+(-1)^n\}
fazermos duas classificações:
  1. Se ela é crescente (C), decrescente (D) ou nem crescente nem decrescente (N).
    – Usamos a definição de crescente não estrito: \forall n,\;a_n\le a_{n+1}.
    – Decrescente não estrito: \forall n,\;a_n\ge a_{n+1}.
  2. Se ela é monótona (M), estritamente monótona (E) ou não monótona (N).
    – Monótona significa ou não decrescente ou não crescente.
    – Estritamente monótona exige \forall n a desigualdade forte.

Passo 2

Analisando \{a_n\} = \{n+(-1)^n\}, calculo alguns termos:
a_1 = 1 + (-1) = 0,\quad a_2 = 2 + 1 = 3,\quad a_3 = 3 + (-1) = 2,\quad a_4 = 4 + 1 = 5,\ldots
Vemos que
0 \to 3\\ (\text{aumenta}),\quad 3 \to 2\\ (\text{diminui}),\quad 2 \to 5\\ (\text{aumenta}),\;\ldots
portanto a sequência oscila subindo e descendo. Logo não é crescente nem decrescente e muda de direção, ou seja, não é monótona.

Passo 3

Analisando \{b_n\} = \{2n+(-1)^n\}, calculo alguns termos:
b_1 = 2 - 1 = 1,\quad b_2 = 4 + 1 = 5,\quad b_3 = 6 - 1 = 5,\quad b_4 = 8 + 1 = 9,\quad b_5 =10 - 1 = 9,\ldots
Observamos que 1\le5\le5\le9\le9\le13\le\cdots. Nunca há descida, só aumentos ou empates. Logo é crescente (não estrito). Como existem termos iguais, não é estritamente crescente, mas sim monótona crescente.

Passo 4

Analisando \{c_n\} = \{3n+(-1)^n\}, calculo alguns termos:
c_1 = 3 - 1 = 2,\quad c_2 = 6 + 1 = 7,\quad c_3 = 9 - 1 = 8,\quad c_4 =12 + 1 =13,\quad c_5 =15 - 1 =14,\ldots
Repare que de um termo ao seguinte
c_{n+1}-c_n = 3 +\bigl((-1)^{n+1}-(-1)^n\bigr)
assume ora valor 5, ora valor 1, mas sempre positivo. Portanto c_n<c_{n+1} para todo n. É estritamente crescente.

Resposta

\{n+(-1)^n\}: (N) nem crescente nem decrescente, (N) não monótona \{2n+(-1)^n\}: (C) crescente, (M) monótona \{3n+(-1)^n\}: (C) crescente, (E) estritamente monótona

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