Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
( ) \sum(-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n+10}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+10}}
como (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. O conteúdo envolve testes de convergência absoluta e o teste da série alternante (Leibniz).

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta analisando
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\;(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+10}}\Bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+10}}.
Como \frac1{\sqrt{n+10}} comporta-se como \frac1{\sqrt n} para n grande, temos um p-série com p=\tfrac12\le1, logo essa série diverge.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da série alternante (Leibniz). Note que a_n=\frac{1}{\sqrt{n+10}}>0 satisfaz:
  1. a_{n+1}<a_n para todo n suficientemente grande (o termo é decrescente),
  2. \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n+10}}=0.
    Portanto, a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n
converge.

Passo 4

A série não é absolutamente convergente (Passo 2) mas é convergente pelo teste de Leibniz (Passo 3). Logo ela é condicionalmente convergente.

Resposta

(CD) Condicionalmente convergente.

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