Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\frac{2^n}{n!}
como (D), (CD) ou (AC). O conteúdo aplicado aqui são os testes de convergência absoluta (teste da razão) e, se necessário, o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Analisamos primeiro a convergência absoluta, considerando a série dos módulos:
\sum_{n=1}^\infty \biggl|\;(-1)^{n+1}\,\frac{2^n}{n!}\biggr| = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão em a_n = 2^n/n!:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.
Como L<1, a série \sum_{n=1}^\infty 2^n/n! converge.

Passo 4

A convergência da série dos módulos implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

(AC)

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