Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{n^{4} 3^{n}}{n!})

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{4}3^{n}}{n!}
em (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. Aqui vamos usar o conceito de convergência absoluta e o teste da razão.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{4}3^{n}}{n!}.
Defina a_{n}=\frac{n^{4}3^{n}}{n!}. Pelo teste da razão, calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{4}3^{\,n+1}/(n+1)!}{n^{4}3^{\,n}/n!} =\lim_{n\to\infty}3\frac{(n+1)^{4}}{n^{4}(n+1)} =\lim_{n\to\infty}3\frac{(n+1)^{3}}{n^{4}} =0.
Como L<1, a série \sum a_{n} converge. Portanto a série original converge absolutamente.

Resposta

(AC)

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