Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{(\operatorname{sen} n){2}}{n{9 / 2}})

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{(\sin n)^{2}}{n^{9/2}}
como divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). O conteúdo principal aqui é teste de convergência absoluta usando comparação com séries p.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, olhamos para
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\;(-1)^{n+1}\,\frac{(\sin n)^{2}}{n^{9/2}}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\sin n)^{2}}{n^{9/2}}.
Como (\sin n)^{2}\le1 para todo n, temos
\frac{(\sin n)^{2}}{n^{9/2}}\le\frac{1}{n^{9/2}}.
E a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{9/2}}
é uma série p com p=\tfrac{9}{2}>1, logo converge. Pelo teste da comparação,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\sin n)^{2}}{n^{9/2}}
converge também, isto é, a série original converge absolutamente.

Resposta

(AC)

Exercícios relacionados